laquelle, étant multipliée par la série représentée par
donnera les termes suivants affectés de
![{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {P} }{u^{n+1}}}+{\frac {\mathrm {Q} }{u^{n}}}+{\frac {\mathrm {R} }{u^{n-1}}}+{\frac {\mathrm {S} }{u^{n-2}}}+\ldots \right)x^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67b7c8831b4719f3dcccabe84c3c2e6bcd209f6f)
où il faut remarquer, que, comme les puissances de
dans les dénominateurs vont en diminuant, il faudra s’arrêter au terme divisé par
.
6. Or, si l’on considère la fonction
qu’on la divise par
qu’ensuite on y change
en
et qu’on ne retienne que les termes divisés par
ou par des puissances de
il est aisé de voir qu’on aura de cette manière la série qui multiplie
Donc la partie multipliée par
provenant de la fonction
pourra être représentée par
en ayant soin de ne retenir que les termes de
qui auront
au dénominateur.
De la même manière, si l’on cherchait la partie multipliée par
provenant du développementde la fraction
suivant les puissances de
on trouverait
en ne retenant dans
que les termes qui auraient une puissance de
au dénominateur. La quantité
est donc identique avec le coefficient de
dans le développement de
donc l’identité subsistera encore entre les fonctions dérivées relativement à
d’où il suit que la fonction dérivée de
que nous dénoterons par
sera égale au coefficient de
dans le développement de la fonction dérivée de
relativement à
.
Or, comme
ne se trouve ici que dans le dénominateur, et que la fonction dérivée de
est
on en conclura tout de suite que
sera la partie du développement de