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C’est le terme général de la suite récurrente qui résulte de la fraction

${\frac {\psi (x)\left[1-f'(x)\right]}{u-x+f(x)}},$

exprimé par les racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ de l’équation

$u-x+f(x)=0.$

En comparant cette expression avec l’expression générale de $(n)$ en $u$ trouvée ci-dessus et mettant, pour plus de simplicité, $n$ à la place de $n+1,$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {\psi (\alpha )}{\alpha ^{n}}}+{\frac {\psi (\beta )}{\beta ^{n}}}+{\frac {\psi (\gamma )}{\gamma ^{n}}}+\ldots =&\Psi (u)+\Psi '(u)f(u)+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'\\&+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots ,\end{aligned}}$

où $\Psi (u)={\frac {\psi (u)}{u^{n}}},$ et où l’on ne doit retenir que les termes qui contiendront des puissances négatives de $u$.

13. Supposons maintenant que l’exposant $n$ soit infiniment grand, en sorte que le terme $(n)x^{n-1},$ auquel il répond dans la série récurrente, soit pris à une très-grande distance de l’origine ; on pourra alors regarder la fonction $\Psi (u)={\frac {\psi (u)}{u^{n}}}$ comme ne contenant que des puissances négatives de $u,$ et même toutes les fonctions $\Psi '(u)f(u),\ \Psi '(u)f^{2}(u),\ldots$ comme ne contenant aussi que des puissances négatives de $u\,;$ du moins, cette supposition sera d’autant plus exacte que le nombre $n$ sera plus grand. Dans cette hypothèse, il n’y aura aucun terme à rejeter dans l’expression de $(n),$ et l’on pourra regarder la série

$\Psi (u)+\Psi '(u)f(u)+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots$

comme allant à l’infini sans aucune interruption.