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n’avait encore trouvée que par la méthode des indéterminées. L’analyse précédente, en même temps qu’elle donne la loi de cette formule et le moyen de la continuer aussi loin qu’on voudra, fait voir que la valeur de $x$ qu’elle exprime est la plus petite des racines de l’équation proposée.

20. Si l’on veut appliquer la formule précédente à la détermination de la valeur de $p$ dans l’équation

$\operatorname {F} (a)+p\operatorname {F} '(a)+{\frac {p^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(a)+{\frac {p^{3}}{2.3}}\operatorname {F} '''(a)+\ldots =0,$

que nous avons considérée au commencement de cette Note, il n’y aura plus qu’à substituer $\operatorname {F} (a),\ -\operatorname {F} '(a),\ {\frac {1}{2}}\operatorname {F} ''(a),\ -{\frac {1}{2.3}}\operatorname {F} '''(a),\ldots$ au lieu de $a,b,c,d,\ldots ,$ et $p$ au lieu de $x\,;$ on aura ainsi

$p=-{\frac {1}{\operatorname {F} '(a)}}\operatorname {F} (a)-{\frac {\operatorname {F} ''(a)}{2\operatorname {F} '^{3}(a)}}\operatorname {F} ^{2}(a)+{\frac {\operatorname {F} '(a)\operatorname {F} '''(a)-3\operatorname {F} ''^{2}(a)}{2.3\operatorname {F} '^{5}(a)}}\operatorname {F} ^{3}(a)+\ldots ,$

ce qui donne la même série que nous avons trouvée par deux méthodes différentes.

Nous pouvons généraliser encore la formule du théorème donnée plus haut. En effet, puisque $\alpha$ est une des valeurs de $x,$ ce théorème peut se présenter ainsi.

21. L’équation

$x=u+f(x)$

donne, en général

$x^{r}=u^{r}+\left(u^{r}\right)'f(u)+\left[{\frac {\left(u^{r}\right)'f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\left(u^{r}\right)'f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots .$

Or, soit $\operatorname {F} (x)$ une fonction quelconque donnée de $x\,;$ on peut la supposer réduite à la forme

$\mathrm {M} x^{r}+\mathrm {N} x^{s}+\mathrm {P} x^{t}+\ldots \,;$

ainsi, pour la valeur de $\operatorname {F} (x),$ il n’y aura qu’à ajouter ensemble les