Ainsi, par exemple, si l’on a l’équation du troisième degré
![{\displaystyle y^{3}+\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} y-\mathrm {N} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db42d44a01ded426f044762e268894a082e0be9c)
dans laquelle
sont supposés des nombres positifs, en la mettant sous la forme
![{\displaystyle y^{3}+\mathrm {A} y^{2}+\mathrm {B} y=\mathrm {N} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a9b0e1bf7ed3ce68064f1b4ce8c27556c8c96e5)
on voit que, au lieu d’extraire simplement du nombre
la racine de la puissance
il s’agit d’en extraire celle de la somme des puissance :
et, si
est la partie de cette racine déjà trouvée et
le reste, on aura
![{\displaystyle \left(3a^{2}+2\mathrm {A} a+\mathrm {B} \right)p+(3a+\mathrm {A} )p^{2}+p^{3}=\mathrm {N} -a^{3}-\mathrm {A} a^{2}-\mathrm {B} a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f1a50ce788e913dbea4630ad55768f41df23724)
et par conséquent
![{\displaystyle p<{\frac {\mathrm {N} -a\left(a^{2}+\mathrm {A} a+\mathrm {B} \right)}{3a^{2}+2\mathrm {A} a+\mathrm {B} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c44f24aa1ea2c85442f2fabb3453f6861c0857f)
formule qui répond à celle-ci
![{\displaystyle p<{\frac {\mathrm {N} -a^{3}}{3a^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03fcf764125c381430d679801696541ef0b65482)
sur laquelle est fondé le procédé de l’extraction de la racine cubique.
Prenons l’équation trouvée plus haut
![{\displaystyle y^{3}+4y^{2}+3y-1=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b68cc0575dbef23b9266d941f358d16d2efcf3)
la formule sera ici
![{\displaystyle p<{\frac {1-a\left(a^{2}+4a+3\right)}{3a^{2}+8a+3}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dfe5f1fc8a8ad6a49f9d6e57abc0e1add6432dc)
Il est d’abord facile de voir que le premier chiffre de la valeur de
ne peut être que
faisant donc
on trouvera
En prenant
la nouvelle valeur de
sera
et l’on trouvera
![{\displaystyle p<{\frac {0{,}035776}{5{,}0728}}<0{,}008,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86d23c69cd9a0d7784a7f3735669bb3b154bb67)