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En effet il est visible que, par la substitution de $r^{a}$ à la place de $r,$ $r^{a}$ devient $(r^{a})^{a}=r^{a^{2}},$ $r^{a^{2}}$ devient $r^{a^{3}},$ etc., et le dernier terme devient $\left(r^{a}\right)^{a^{\mu -2}}=$ $r^{a^{\mu -1}}=r,$ à cause que le reste de $a^{\mu -1}$ après la division par $\mu$ est l’unité.

De même, par la substitution de $r^{a^{2}}$ au lieu de $r,$ $r^{a^{2}}$ devient $\left(r^{a^{2}}\right)^{a}=r^{a^{3}},$ $r^{a^{2}}$ devient $\left(r^{a^{2}}\right)^{a^{2}}=r^{a^{4}},$ etc. l’avant-dernier terme $r^{a^{\mu }-3}$ deviendra $\left(r^{a^{2}}\right)^{a^{\mu -3}}=r^{a^{\mu -1}}=r,$ le dernier deviendra $\left(r^{a^{2}}\right)^{a^{\mu -2}}=$ $r^{a^{\mu }}=r^{a},$ à cause que le reste de la division de $a^{\mu }$ par $\mu$ est $a,$ puisque $a^{\mu }=a.a^{\mu -1},$ et que le reste de la division de $a^{\mu -1}$ est $1.$

6. Cela posé, si pour résoudre l’équation du degré $\mu -1$ (n^o 5)

$x^{\mu -1}+x^{\mu -2}+x^{\mu -3}+\ldots +1=0,$

dont les racines sont (n^o 5)

$r,\ \ r^{a},\ \ r^{a^{2}},\ \ r^{a^{3}},\ \ \ldots ,\ \ r^{a^{\mu -2}},$

$r^{\mu }$ étant $=1,$ en vertu de l’équation $x^{\mu }-1=0,$ on emploie la méthode de la Note précédente, et qu’en prenant ces racines pour $x',x'',x''',\ldots$ on fasse (n^o 14, Note précédente)

$t=r+\alpha r^{a}+\alpha ^{2}r^{a^{2}}+\alpha ^{3}r^{a^{3}}+\ldots +\alpha ^{\mu -2}r^{a^{\mu -2}},$

où $\alpha$ est une des racines de l’équation $y^{\mu -1}-1=0\,;$ qu’ensuite on développe la puissance $(\mu -1)$^ième de $t,$ en faisant attention de rabaisser les puissances de $\alpha$ et de $r$ au-dessous de $a^{\mu -1}$ et de $r^{\mu },$ par les conditions $a^{\mu -1}=1$ et $r^{\mu }=1,$ de manière qu’on ait cette fonction ordonnée suivant les puissances de $\alpha$

$\theta =t^{\mu -1}=\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\ldots +\alpha ^{\mu -2}\xi ^{(\mu -2)},$

les quantités $\xi ^{0},\xi ',\xi '',\ldots$ seront des fonctions rationnelles et entières de $r,$ telles qu’elles ne changeront pas par la substitution de $r^{a},r^{a^{2}},r^{a^{3}},\ldots$ à la place de $r,$ puisque nous avons vu (n^o 16, Note précédente) que ces quantités, regardées comme des fonctions de $x',x'',x''',\ldots ,$ sont invariables par les permutations simultanées de $x'$ en $x'',$ $x''$ en