les puissances de
au-dessous de
à cause de
on trouve
![{\displaystyle \mathrm {X'^{2}=2X'+3X'',\quad X''^{2}=2X''+3X'} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a93c125c2294e292e1513946119ccf06947f480)
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {X'^{2}+X''^{2}=5(X'+X'')} =-5,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faa9e06ec0f139bcb79e5bc46a0fade1b36a5bad)
à cause que
est la somme de toutes les racines.
On trouve de même, par la multiplication,
![{\displaystyle \mathrm {X'X''=5+2(X'+X'')} =5-2=3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77174e663efa15e2c1c7b9f8c6bd268d0a0f1699)
On aura ainsi
et, faisant
on aura
Donc on aura par les formules du no 11, en y faisant
![{\displaystyle \mathrm {X} '={\frac {-1+{\sqrt {-11}}}{2}},\quad \mathrm {X} ''={\frac {-1-{\sqrt {-11}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea88e045f584de89062971b2cb8eadd6084a2749)
25. Ayant ainsi les valeurs de
et
pour avoir celle de
il faudra considérer les cinq termes qui composent la quantité
comme les racines d’une équation du cinquième degré, et, puisque
est un nombre premier, on ne pourra employer que l’expression générale de
![{\displaystyle t=r+\alpha r^{4}+\alpha ^{2}r^{5}+\alpha ^{3}r^{9}+\alpha ^{4}r^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0886756101f679c24eed97eb09e020bbe0929b1e)
en prenant pour
une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{5}-1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45dee5c701c474672ddc82ad053e855331ebb988)
Ensuite il faudra faire
![{\displaystyle \theta =t^{5}=\xi ^{0}+\alpha \xi '+\alpha ^{2}\xi ''+\alpha ^{3}\xi '''+\alpha ^{4}\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/020bd08d572429a7caf1133d5e29983373a910a1)
et il ne s’agira que de trouver les valeurs en
des coefficients
par l’élévation de l’expression de
à la cinquième puissance, en ayant soin de rabaisser les puissances de
au-dessous de
et celles de
au-dessous de
à cause de
et
Par un calcul qui n’a de difficulté qu’un peu de longueur et sur l’exactitude duquel on peut compter, j’ai trouvé, en retenant les expressions de
et
en ![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)