De là on aura
![{\displaystyle \theta =t^{2}=\xi ^{0}+\alpha \xi ,\quad \xi =\mathrm {X'^{2}+X''^{2},\quad \xi '=2X'X''} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01f3ec69a9b9b23a0019bea1854f5e3b5a485fca)
On peut se dispenser de chercher la valeur de
en se servant de l’expression de du no 11, qui ne renferme pas
et qui donne ici, à cause de
et de
somme des racines de l’équation proposée,
de sorte qu’en faisant
on aura la valeur de
et les deux racines
seront (numéro cité)
![{\displaystyle \mathrm {X} '={\frac {-1+{\sqrt {1-2\xi '}}}{2}},\quad \mathrm {X} ''={\frac {-1-{\sqrt {1-2\xi '}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c689e09e21418fd69c7269b32af6f9b3304949)
Pour avoir la valeur de
il faut développer le produit
en punissances de
ayant soin de rabaisser les puissances supérieures à
à cause de
et l’on trouve
en mettant
pour la somme des racines
laquelle est
de sorte qu’on aura
et les valeurs de
seront
![{\displaystyle \mathrm {X} '={\frac {-1+{\sqrt {-11}}}{2}},\quad \mathrm {X} ''={\frac {-1-{\sqrt {-11}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea88e045f584de89062971b2cb8eadd6084a2749)
38. On regardera maintenant les six racines qui composent la quantité
comme celles d’une équation du sixième degré, et l’on fera de nouveau
![{\displaystyle t_{1}=r+\alpha r^{4}+\alpha ^{2}r^{3}+\alpha ^{3}r^{12}+\alpha ^{4}r^{9}+\alpha ^{5}r^{10}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f02f529107bb365ea267473257d5c1d59a98e44)
mais, au lieu de prendre en général pour
une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{6}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf2d9785ca7be6bd7bb81344254519690195ad11)
ce qui demanderait ensuite le développement de la sixième puissance du polynôme
nous prendrons de nouveau une racine de l’équation
![{\displaystyle y^{2}-1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8d51923e87c6ffcd0823efdf89f7bdacabc1cd)
de sorte que, au moyen de
la fonction
redeviendra de la forme
![{\displaystyle t_{1}=\mathrm {X} '_{1}+\alpha \mathrm {X} ''_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02a482cbc4dd4b9bf27870510d618c7e3d409888)
dans laquelle on aura
![{\displaystyle \mathrm {X} '_{1}=r+r^{3}+r^{9},\quad \mathrm {X} ''_{1}=r^{4}+r^{12}+r^{10}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df7f9b8b9e0cb2b6432cdf34c327f02d3398d4d0)