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23. Maintenant, si l’on réduit les fractions continues

${\frac {p}{1}},\quad p+{\frac {1}{q}},\quad p+{\frac {1}{q+{\cfrac {1}{r}}}},\quad \ldots$

en fractions ordinaires, on aura, en faisant

${\begin{alignedat}{2}\alpha =&p,&\alpha '=&1,\\\beta =&q\alpha +1,\qquad &\beta '=&q\alpha '=q,\\\gamma =&r\beta +\alpha ,&\gamma '=&r\beta '+\alpha ',\\\delta =&s\gamma +\beta ,&\delta '=&s\gamma '+\beta ',\\.\ldots &\ldots \ldots ,&.\ldots &\ldots \ldots ,\end{alignedat}}$

on aura, dis-je, cette suite de fractions particulières

${\frac {\alpha }{\alpha '}},\quad {\frac {\beta }{\beta '}},\quad {\frac {\gamma }{\gamma '}},\quad {\frac {\delta }{\delta '}},\quad \ldots ,$

lesquelles seront nécessairement convergentes vers la vraie valeur de $x,$ et dont la première sera plus petite que cette valeur, la deuxième sera plus grande, la troisième plus petite, et ainsi de suite ; de sorte que la valeur cherchée se trouvera toujours entre deux fractions consécutives quelconques. C’est ce qu’il est aisé de déduire de la nature même de la fraction continue d’où celles-ci sont tirées.

Or il est facile de voir que les valeurs de

$\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots \quad {\text{et}}\quad \alpha ',\beta ',\gamma ',\ldots$

sont toujours telles que

$\beta \alpha '-\alpha \beta '=1,\quad \beta \gamma '-\gamma \beta '=1,\quad \delta \gamma '-\gamma \delta '=1,\quad \ldots ,$

d’où il s’ensuit

1^o Que ces fractions sont déjà réduites à leurs moindres termes ; car si $\gamma$ et $\gamma ',$ par exemple, avaient un commun diviseur autre que l’unité, il faudrait, en vertu de l’équation

$\beta \gamma '-\gamma \beta '=1,$

que l’unité fût aussi divisible par ce même diviseur ;