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l’équation des différences sera ici du degré ${\frac {3.2}{2}}=3,$ et l’on trouvera par la même méthode

$\upsilon ^{3}-a\upsilon ^{2}+b\upsilon -c=0,$

où

${\begin{aligned}4\,\ a=&2\mathrm {\left(A^{2}-3B\right)} ,\\4^{2}b=&\ \ \mathrm {\left(A^{2}-3B\right)} ^{2},\\4^{3}c=&\mathrm {\frac {4\left(A^{2}-3B\right)\left(B^{2}-3AC\right)-(9C-AB)^{2}}{3}} \,;\end{aligned}}$

donc, pour que les racines soient toutes réelles, il faudra que l’on ait

1^o$\quad \mathrm {A^{2}-3B} >0,$

2^o$\quad 4\mathrm {\left(A^{2}-3B\right)\left(B^{2}-3AC\right)-(9C-AB)^{2}} >0.$

Si l’une de ces deux conditions manque, l’équation aura deux racines imaginaires.

39. Soit maintenant proposée l’équation générale du quatrième degré

$x^{4}+\mathrm {B} x^{2}-\mathrm {C} x+\mathrm {D} =0,$

dont le second terme est évanoui, pour plus de simplicité le degré de l’équation des différences sera ${\frac {4.3}{2}}=6,$ de sorte que cette équation sera

$\upsilon ^{6}-a\upsilon ^{5}+b\upsilon ^{4}-c\upsilon ^{3}+d\upsilon ^{2}-e\upsilon +f=0,$

où l’on trouvera par la même méthode

${\begin{aligned}4\,\ a=&-8\mathrm {B} ,\\4^{2}b=&22\mathrm {B^{2}+8D} ,\\4^{3}c=&-18\mathrm {B^{3}+16BD+26^{2}C} ,\\4^{4}d=&17\mathrm {B^{4}+24B^{2}D-7.16D^{2}+3.16BC^{2}} ,\\4^{5}e=&-4\mathrm {B^{5}-2.27C^{2}B^{2}-8.27C^{2}D+3.4^{3}BD^{2}-2.4^{2}B^{3}D} ,\\4^{6}f=&4^{4}\mathrm {D^{3}-2^{3}.4^{2}B^{2}D^{2}+4^{2}.3^{2}C^{2}BD+4^{2}B^{4}D-4C^{2}B^{3}-3^{3}C^{4}} \,;\end{aligned}}$

donc, si la quantité

$4^{4}\mathrm {D^{3}-2^{3}.4^{2}B^{2}D^{2}+4^{2}.3^{2}C^{2}BD+4^{2}B^{4}D-4C^{2}B^{3}-3^{3}C^{4}}$