le signe supérieur ayant lieu lorsque
est un nombre pair, et l’inférieur lorsque
est impair.
Donc, faisant ces substitutions dans les deux dernières équations du numéro précédent, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\pm (l_{\mu }\,\ x_{\mu }+l_{\mu -1}\,\ )(\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1})^{n}=&(l_{\rho }\ \mathrm {H} _{\varpi -1}-l_{\rho -1}\ \mathrm {H} _{\varpi })x_{\mu }+(l_{\rho -1}\ h_{\varpi }-l_{\rho }\ h_{\varpi -1}),\\\pm (\mathrm {L} _{\mu }\ x_{\mu }+\mathrm {L} _{\mu -1})(\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1})^{n}=&\mathrm {\left(L_{\rho }H_{\varpi -1}-L_{\rho -1}H_{\varpi }\right)} x_{\mu }+(\mathrm {L} _{\rho -1}h_{\varpi }-\mathrm {L} _{\rho }h_{\varpi -1}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263b91dc509747956c9950b5086c71199b1956a5)
les signes ambigus dépendant du nombre, comme nous l’avons vu ci-dessus.
Maintenant, si dans l’équation (E) on fait
on aura, à cause de
(hypothèse)
![{\displaystyle x_{\mu }={\frac {h_{\nu }x_{\mu }+h_{\nu -1}}{\mathrm {H} _{\nu }x_{\mu }+\mathrm {H} _{\nu -1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dbb001f81c743ee6c5f6385d1f19ef05ede53d1)
d’où l’on tire l’équation en ![{\displaystyle x_{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec9df53adf1f4825f65856a0bcdb42ed8c599bb)
(F)
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laquelle donne
![{\displaystyle x_{\mu }={\frac {h_{\nu }-\mathrm {H} _{\nu -1}+{\sqrt {(h_{\nu }-\mathrm {H} _{\nu -1})^{2}+4\mathrm {H} _{\nu }h_{\nu -1}}}}{2\mathrm {H} _{\nu }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b65b2f423e2c0d80c169483d1e9d8421ec3badba)
Soit, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {P} ={\frac {h_{\nu }-\mathrm {H} _{\nu -1}}{2\mathrm {H} _{\nu }}},\quad \mathrm {Q=P^{2}} +{\frac {h_{\nu -1}}{\mathrm {H} _{\nu }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1bb646190bcbe06d2fc9645a88530258c8c72e)
en sorte que l’on ait
![{\displaystyle x_{\mu }=\mathrm {P+{\sqrt {Q}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0242e20610aba4015d36f3321595fcfbaba7046d)
substituant cette valeur, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\pm &\left(l_{\mu }\mathrm {P} +l_{\mu -1}+l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {Q} }}\right)\mathrm {\left(H_{\nu }P+H_{\nu -1}+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\\&=(l_{\rho }\mathrm {H} _{\varpi -1}-l_{\rho -1}\mathrm {H} _{\varpi })\mathrm {\left(P+{\sqrt {Q}}\right)} +(l_{\rho -1}h_{\varpi }-l_{\rho }h_{\varpi -1}),\\\pm &\mathrm {\left(L_{\mu }^{2}+P+L_{\mu -1}+L_{\mu }{\sqrt {Q}}\right)} \mathrm {\left(H_{\nu }P+H_{\nu -1}+H_{\nu }{\sqrt {Q}}\right)} ^{n}\\&=\mathrm {\left(L_{\rho }H_{\varpi -1}-L_{\rho -1}H_{\varpi }\right)} \mathrm {\left(P+{\sqrt {Q}}\right)} +(\mathrm {L} _{\rho -1}h_{\varpi }-\mathrm {L} _{\rho }h_{\varpi -1}),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8655f9559f9d0bcfe55c4f3d6b7ece2155a03a7)
d’où, à cause de l’ambiguïté du radical
on tirera quatre équations, par lesquelles on pourra déterminer ![{\displaystyle l_{\rho },l_{\rho -2},\mathrm {L} _{\rho },\mathrm {L} _{\rho -2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b067eba89f7a5976b318778c930ef607de6c2394)