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donc

$\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma }+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +1}}} >1,\quad \mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +1}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +2}}} >1,\quad \ldots ,$

et, comme

$\mathrm {B=\varepsilon _{\gamma }^{2}+E_{\gamma }E_{\gamma +1}=\varepsilon _{\gamma +1}^{2}+E_{\gamma +1}E_{\gamma +2}} =\ldots ,$

on aura

$\mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma }+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +1}}} =\mathrm {\frac {E_{\gamma }}{{\sqrt {B}}-\varepsilon _{\gamma }}} ,\quad \mathrm {\frac {\varepsilon _{\gamma +1}+{\sqrt {B}}}{E_{\gamma +2}}} =\mathrm {\frac {E_{\gamma +1}}{{\sqrt {B}}-\varepsilon _{\gamma +1}}} ,$

et ainsi des autres ; donc aussi

$\mathrm {\frac {E_{\gamma }}{{\sqrt {B}}-\varepsilon _{\gamma }}} >1,\quad \mathrm {\frac {E_{\gamma +1}}{{\sqrt {B}}-\varepsilon _{\gamma +1}}} >1,\quad \ldots .$

Or, comme, $\varepsilon _{\gamma },\varepsilon _{\gamma +1},\ldots$ sont plus petits que ${\sqrt {\mathrm {B} }},$ il est clair que, quel que soit le signe de ces nombres, $\varepsilon _{\gamma },\varepsilon _{\gamma +1},\ldots ,$ les dénominateurs ${\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon _{\gamma },$ ${\sqrt {\mathrm {B} }}-\varepsilon _{\gamma +1}$ seront nécessairement de même signe que ${\sqrt {\mathrm {B} }}\,;$ donc il faudra que les numérateurs $\mathrm {E_{\gamma },\ E_{\gamma +1}} ,\ldots$ soient tous aussi du même signe que ${\sqrt {\mathrm {B} }}.$

Maintenant supposons, pour plus de simplicité, ${\sqrt {\mathrm {B} }}$ positif ; en sorte que $\mathrm {E_{\gamma },\ E_{\gamma +1}} ,\ldots$ doivent être aussi tous positifs ; je dis que $\varepsilon _{\gamma },\varepsilon _{\gamma +1},$$\varepsilon _{\gamma +2},\ldots$ le seront aussi. Car soit, s’il est possible, $\varepsilon _{\gamma }=-\eta$ ($\eta$ étant un nombre positif) ; comme $\mathrm {E_{\gamma }<{\sqrt {B}}}$ (hypothèse), on aura, à plus forte raison, $\mathrm {E_{\gamma }<{\sqrt {B}}} +\eta \,;$ donc $\mathrm {{\frac {E_{\gamma }}{{\sqrt {B}}-\varepsilon _{\gamma }}}={\frac {E_{\gamma }}{{\sqrt {B}}+\eta }}}$ sera $<1,$ au lieu que cette quantité doit être $>1\,;$ donc doit être positif. Soit ensuite, s’il est possible, $\varepsilon _{\gamma +1}=-\eta _{1}\,;$ comme on a, par les formules du n^o 52, $\varepsilon _{\gamma +1}=\lambda _{\gamma +1}\mathrm {E} _{\gamma +1}-\varepsilon _{\gamma },$ on aura $\lambda _{\gamma +1}E_{\gamma +1}=\varepsilon _{\gamma }-\eta _{1}\,;$ donc, à cause que $\varepsilon _{\gamma }$ et $\eta _{1}$ sont des nombres positifs moindres que ${\sqrt {\mathrm {B} }},$ et que $\lambda _{\gamma +1}$ est aussi un nombre entier positif, il est clair que $\mathrm {E} _{\gamma +1}$ devra être moindre que ${\sqrt {\mathrm {B} }}\,;$ et, dans ce cas, on prouvera, comme ci-devant, que $\varepsilon _{\gamma +1}$ devra être positif, et ainsi de suite.

Si ${\sqrt {\mathrm {B} }}$ était pris négativement, on prouverait de la même manière que $\varepsilon _{\gamma },\varepsilon _{\gamma +1},\ldots$ devraient être négatifs ; et même, sans faire un nouveau calcul, il n’y aura qu’à remarquer que les formules du numéro