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Or, dans le cas où l’équation est du second degré, et où l’on se sert de la méthode du n^o  52, on pourra, si l’on veut, simplifier beaucoup les calculs des n^os 48 et suivants pour trouver les termes $l_{\rho }$ et $\mathrm {L} _{\rho }$ de chacune des fractions convergentes vers $x$.

En effet, ayant

$x_{\mu }=\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{\mu }}{E_{\mu +1}}} \quad {\text{et}}\quad x_{\mu +\varpi }=\mathrm {\frac {{\sqrt {B}}+\varepsilon _{\mu +\varpi }}{E_{\mu +\varpi +1}}} ,$

sont connus ($\varpi$ étant $<\nu$), il n’y aura qu’à substituer ces valeurs dans les deux équations du n^o  48, et faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}&{\frac {l_{\mu }\ \varepsilon _{\mu }}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}+l_{\mu -1}\ =f_{\mu },\\&\mathrm {{\frac {L_{\mu }\varepsilon _{\mu }}{E_{\mu +1}}}+L_{\mu -1}} =\mathrm {F} _{\mu },\\&\mathrm {{\frac {H_{\nu }\varepsilon _{\mu }}{E_{\mu +1}}}+H_{\nu -1}} =\mathrm {K} _{\nu },\\&\mathrm {H_{\varpi }\varepsilon _{\mu +\varpi }+H_{\varpi -1}E_{\mu +\varpi +1}} =\mathrm {G} _{\varpi },\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}&\left(f_{\mu }\ +{\frac {l_{\mu }\ {\sqrt {\mathrm {B} }}}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}\right)\mathrm {\left(G_{\varpi }+H_{\varpi }{\sqrt {B}}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =l_{\rho }\ \varepsilon _{\mu +\varpi }+l_{\rho -1}\ \mathrm {E} _{\mu +\varpi +1}+l_{\rho }\ {\sqrt {\mathrm {B} }},\\&\mathrm {\left(F_{\mu }+{\frac {L_{\mu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)\left(G_{\varpi }+H_{\varpi }{\sqrt {B}}\right)\left(K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =\mathrm {L_{\rho }\varepsilon _{\mu +\varpi }+L_{\rho -1}E_{\mu +\varpi +1}+L_{\rho }{\sqrt {B}}} ,\end{aligned}}$

d’où, à cause de l’ambiguïté du signe du radical ${\sqrt {B}},$ on tire sur-le-champ

${\begin{aligned}l_{\rho }=&{\frac {\begin{aligned}&\left(f_{\mu }+{\frac {l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {B} }}}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}\right)\mathrm {\left(G_{\varpi }+H_{\varpi }{\sqrt {B}}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}\\-&\left(f_{\mu }-{\frac {l_{\mu }{\sqrt {\mathrm {B} }}}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}\right)\mathrm {\left(G_{\varpi }-H_{\varpi }{\sqrt {B}}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }-{\frac {H_{\nu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}\end{aligned}}{2{\sqrt {\mathrm {B} }}}}\\\\\mathrm {L} _{\rho }=&{\frac {\begin{aligned}&\mathrm {\left(F_{\mu }+{\frac {L_{\mu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)\left(G_{\varpi }+H_{\varpi }{\sqrt {B}}\right)\left(K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}\\-&\mathrm {\left(F_{\mu }-{\frac {L_{\mu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)\left(G_{\varpi }-H_{\varpi }{\sqrt {B}}\right)\left(K_{\nu }-{\frac {H_{\nu }{\sqrt {B}}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}\end{aligned}}{2{\sqrt {\mathrm {B} }}}},\end{aligned}}$

$\rho$ étant, comme plus haut, égal à $\mu +n\nu +\varpi .$