De cette manière, on aurait donc
![{\displaystyle x=p\pm {\frac {1}{y}},\quad y=q\pm {\frac {1}{z}},\quad z=r\pm {\frac {1}{u}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/083727f92bdbea82a983b0b06f1dbd413b5a6def)
ce qui donnerait la fraction continue
![{\displaystyle x=p\pm {\frac {1}{q\pm {\cfrac {1}{r\pm {\cfrac {1}{s\pm \ddots }}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca72e544c2e4a6bf6b3b336ec0962bfcf4fd5079)
où il est bon de remarquer que chacun des dénominateurs
qui sera suivi d’un signe
devra nécessairement être
ou
car puisque
si l’on fait
on aura
donc
donc
devant être un nombre entier sera nécessairement
ou
et ainsi des autres.
67. J’observe maintenant que ces sortes de fractions qui procèdent ainsi par addition et par soustraction peuvent toujours facilement se changer en d’autres qui ne soient formées que par la simple addition.
En effet, supposons en général
![{\displaystyle a-{\frac {1}{t}}=\mathrm {A+{\frac {1}{T}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1930d1fe981d00734a0ed1a248bffac2a3fcfb98)
et
devant être des nombres entiers, et
des nombres plus grands que l’unité ; on aura donc
![{\displaystyle a-\mathrm {A} ={\frac {1}{t}}+{\frac {1}{\mathrm {T} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef2868745b7f37a9c036c05dfd4a435ba71522c2)
donc, puisque
et ![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {T} }}<1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf3275170902d6f18bfd15b769aaf7c3c2fd107a)
![{\displaystyle {\frac {1}{t}}+{\frac {1}{\mathrm {T} }}\quad {\text{sera}}\quad <2\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c199a3bf9680f877899593b823fb9fa74bb0e6c)
donc on ne pourra supposer que
ce qui donne
on aura donc
![{\displaystyle a-{\frac {1}{t}}=a-1+{\frac {1}{\mathrm {T} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f38b6bc661ff3b9691ae07ee4724135e073fefd)