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cédentes, ajoutées et retranchées, deviendront par les théorèmes connus,

$2p''=-\mathrm {B} \sin p\cos q,\quad 2q''=-\mathrm {B} \cos p\sin q.$

Il est d’abord visible que, si l’on ajoute ces deux équations après avoir multiplié la première par $q'$ et la seconde par $p',$ le premier membre deviendra la fonction prime de $2p'q',$ et le second la fonction prime de $\mathrm {B} \sin p\sin q,$ de sorte qu’on aura d’abord cette équation primitive du premier ordre,

$2p'q'=-\mathrm {B} \sin p\sin q+a,$

$a$ étant la constante arbitraire.

Pour la déterminer, supposons que $u=0$ donne $z=m,;$ on aura donc dans ce cas

$u'=\mathrm {\sqrt {A+B}} ,\quad z'={\sqrt {\mathrm {A+B} \cos m}},\quad p=q={\frac {m}{2}},$

$p'={\frac {z'+u'}{2}},\quad q'={\frac {z'-u'}{2}}\,;$

donc

$2p'q'={\frac {z'^{2}-u'^{2}}{2}}={\frac {\mathrm {B} (\cos m-1)}{2}},$

$\sin p\sin q=\sin ^{2}{\frac {m}{2}}={\frac {1-\cos m}{2}},$

de sorte que l’on aura

$a=2p'q'+\mathrm {B} \sin p\sin q=0.$

On aura donc simplement l’équation

$2p'q'=-\mathrm {B} \sin p\sin q,$

d’où l’on peut conclure que cette équation primitive, ne renfermant point de constante arbitraire, doit être comprise dans les équations du premier ordre en $z$ et $u,$ d’oà nous sommes partis. En effet, ces équations donnent, en substituant les valeurs de $p$ et $q,$

$2p'q'={\frac {z'^{2}-u'^{2}}{2}}={\frac {\mathrm {B} }{2}}(\cos z-\cos u)=-\mathrm {B} \sin p\sin q.$