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79. Au reste, on pourrait aussi appliquer au développement de la fonction $f(x+i,y+o)$ la méthode du n^o 37, en prenant les fonctions dérivées par rapport à $i$ et $o.$ En effet, soit

$f(x+i,y+o)=f(x,y)+i\mathrm {P} +o\mathrm {Q} .$

En prenant d’abord les fonctions dérivées par rapport à $x$ et $y,$ on aura

${\begin{aligned}f'(x+i,y+o)=&f'(x,y)+i\mathrm {P} '+o\mathrm {Q} ',\\f_{_{'}}(x+i,y+o)=&f_{_{'}}(x,y)+i\mathrm {P} _{_{'}}+o\mathrm {Q} _{_{'}}.\end{aligned}}$

Ensuite, si l’on prend les fonctions dérivées par rapport à $i$ et $o,$ et qu’on les désigne par des traits placés au haut et au bas, mais en arrière des lettres, on aura aussi

${\begin{aligned}f'(x+i,y+o)=&\mathrm {P} +i'\mathrm {P} +o'\mathrm {Q} ,\\f_{_{'}}(x+i,y+o)=&\mathrm {Q} +i_{_{'}}\mathrm {P} +o_{_{'}}\mathrm {Q} ,\end{aligned}}$

puisqu’il est évident que les fonctions dérivées de $f(x+i,y+o)$ sont les mêmes par rapport à $x$ et $i$ et par rapport à $y$ et $o.$ De là on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&f'(x,y)+i(\mathrm {P'-'\!P} )+o(\mathrm {Q'-'\!Q} ),\\\mathrm {Q} =&f_{_{'}}(x,y)+i(\mathrm {P_{_{'}}-_{_{'}}\!\!P} )+o(\mathrm {Q_{_{'}}-_{_{'}}\!\!Q} ).\end{aligned}}$

Donc, si l’on fait

$\mathrm {R=P'-'\!P,\quad S=Q'-'\!Q+P_{_{'}}-_{_{'}}\!\!P,\quad T=Q_{_{'}}-_{_{'}}\!\!Q} ,$

on aura, en substituant ces valeurs,

$f(x+i,y+o)=f(x,y)+if'(x,y)+of_{_{'}}(x,y)+i^{2}\mathrm {R} +io^{2}\mathrm {S} +o^{2}\mathrm {T} ,$

et l’on pourra de la même manière pousser le développement aussi loin qu’on voudra, de sorte qu’en connaissant les expressions analytiques des premiers restes $\mathrm {P,Q}$ on trouvera tous les suivants par les simples fonctions dérivées de ces restes.

80. Puisque les fonctions dérivées de deux variables se forment de la même manière et par les mêmes règles que celles d’une seule