seront de nouvelles fonctions de dérivées de la fonction primitive et indépendantes de l’indéterminée .
2. Mais, pour ne rien avancer gratuitement, nous commenceronspar examiner la forme même de la série qui doit représenter le développement de toute fonction lorsqu’on y substitue à la place de et que nous avons supposée ne devoir contenir que des puissances entières et positives de .
Cette supposition se vérifie en effet par le développement des différentes fonctions connues ; mais personne, que je sache, n’a cherché à la démontrer a priori, ce qui me paraît néanmoins d’autant plus nécessaire, qu’il y a des cas particuliers où elle ne peut pas avoir lieu. D’ailleurs, le Calcul différentiel porte expressément sur cette même supposition, et les cas qui font exception sont précisément ceux où ce Calcul a été accusé d’être en défaut.
Je vais d’abord démontrer que, dans la série résultante du développement de la fonction il ne peut se trouver aucune puissance fractionnaire de à moins qu’on ne donne à des valeurs particulières.
En effet, il est clair que les radicaux de ne pourraient venir que des radicaux renfermés dans la fonction primitive et il est clair en même temps que la substitution de au lieu de ne pourrait ni augmenter ni diminuer le nombre de ces radicaux, ni en changer la nature, tant que et sont des quantités indéterminées. D’un autre côté, on sait par la théorie des équations que tout radical a autant de valeurs différentes qu’il y a d’unités dans son exposant, et que toute fonction irrationnelle par conséquent, autant de valeurs différentes qu’on peut faire de combinaisons des différentes valeurs des radicaux qu’elle renferme. Donc, si le développement de la fonction pouvait contenir un terme de la forme la fonction serait nécessairement irrationnelle et aurait par conséquent un certain nombre de valeurs différentes, qui serait le même pour la fonction ainsi que pour son développement. Mais, ce développement étant re-
