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d’où l’on tire

${\frac {u'}{u_{_{'}}}}={\frac {z'}{z_{_{'}}}}.$

Substituant la valeur de ${\frac {z'}{z_{_{'}}}},$ tirée de l’équation $z'(z-x)-yz_{_{'}}=0$ du numéro précédent, on aura cette équation du premier ordre

$u'(z-x)-yu_{_{'}}=0.$

Supposons ici

$u=\mathrm {P} +\mathrm {Q} y+\mathrm {R} y^{2}+\mathrm {S} y^{3}+\ldots ,$

$\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ étant des fonctions de $x\,;$ substituant cette valeur, ainsi que celle de $z$ trouvée ci-dessus, on aura

$\left(\mathrm {P} '+\mathrm {Q} 'y+\mathrm {R} 'y^{2}+\mathrm {S} 'y^{3}+\ldots \right)\left\{f(x)+{\frac {y^{2}}{2}}\left[f^{2}(x)\right]'+{\frac {y^{3}}{2.3}}\left[f^{3}(x)\right]''+\ldots \right\}$

$-\mathrm {Q} -2\mathrm {R} y-3\mathrm {S} y^{2}-\ldots =0,$

d’où l’on tire

$\mathrm {Q=P'} f(x),\quad 2\mathrm {R=Q'} f(x)+{\frac {\mathrm {P} '}{2}}\left[f^{2}(x)\right]',$

$3\mathrm {S=R'} f(x)+{\frac {\mathrm {Q} '}{2}}\left[f^{2}(x)\right]'+{\frac {\mathrm {P} '}{2.3}}\left[f^{3}(x)\right]'',$

Or, en substituant successivement les valeurs de $\mathrm {Q,R} ,\ldots ,$ il est aisé de reconnaître que les expressions de ces quantités peuvent se réduire à cette forme simple

$\mathrm {Q=P'} f(x),\quad \mathrm {R} ={\frac {1}{2}}\left[\mathrm {P} 'f^{2}(x)\right]',\quad \mathrm {S} ={\frac {1}{2.3}}\left[\mathrm {P} 'f^{3}(x)\right]'',\quad \ldots .$

La fonction $\mathrm {P}$ demeure indéterminée, à cause de l’élimination de la fonction $\varphi \,;$ mais, puisque $u=\varphi (z)=\varphi \left[x+yf(x)+\ldots \right],$ il est visible qu’on aura $\mathrm {P} =\varphi (x),$ et par conséquent $\mathrm {P} '=\varphi '(x).$

Donc, enfin, on aura

$\varphi (z)=\varphi (x)+y\varphi '(x)f(x)+{\frac {y^{2}}{2}}\left[\varphi '(x)f^{2}(x)\right]'+{\frac {y^{3}}{2.3}}\left[\varphi '(x)f^{3}(x)\right]''+\ldots ,$

formule très-remarquable et d’un grand usage dans l’Analyse, surtout pour le retour des suites.