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Cela suit immédiatement des principes établis ci-dessus, car l’équation prime

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c,\ldots )'=0$

donne la valeur de $y'$ en $x,y,a,b,c,\ldots ,$ l’équation seconde

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c,\ldots )''=0$

donne celle de $y''$ en $x,y,y'$ et $a,b,c,\ldots ,$ et ainsi de suite.

On peut en général appeler contact du premier ordre le rapprochement de deux courbes qui se touchent dans un point, contact du second ordre lorsqu’elles ont de plus la même courbure, et ainsi de suite.

On peut appeler aussi les constantes $a,b,c,\ldots ,$ qui déterminent le contact, éléments du contact.

Ainsi, le contact d’un ordre quelconque $m$ dépendra de $m+1$ éléments $a,b,c,\ldots ,$ et la détermination de ces éléments se tirera de l’équation

$\operatorname {F} (x,y,a,b,c,\ldots )=0$

de la courbe donnée qui forme le contact et des équations dérivées de celle-ci jusqu’à celle de l’ordre $m$^ième.

La propriété analytique de ces contacts est donc que, lorsque deux courbes ont entre elles un contact d’un ordre donné, leurs ordonnées et les fonctions primes, secondes, etc. de ces ordonnées jusqu’à l’ordre du contact sont les mêmes, et leur propriété géométrique consiste en ce qu’une autre courbe qui n’aura pas avec elle un contact du même ordre ne pourra être menée entre l’une et l’autre (n^o 5).

11. La courbe donnée qui forme le contact, étant, par exemple, une ligne droite dont l’équation la plus générale est

$y-a-bx=0,$

ne sera susceptible que d’un contact du premier ordre, puisqu’il n’y a que deux éléments $a$ et $b,$ et l’on aura pour la détermination de ces