Ces cas sont ceux où la relation donnée n’est qu’entre les éléments mêmes du contact, sans que les coordonnées y entrent.
Pour donner d’abord, par un exemple, une idée de ces sortes de problèmes, supposons qu’on demande la courbe dont chaque tangente coupera, deux ordonnées (prolongées s’il est nécessaire) répondant aux abscisses données et de manière que le produit des parties de ces ordonnées comprises entre la même tangente et l’axe des abscisses soit toujours constant et égal à
Puisque l’équation à la tangente est (no 6)
en faisant successivement et on aura les deux valeurs de dont le produit devra être égal à on aura donc, entre les éléments du contact et l’équation
La marche naturelle et directe serait donc de substituer à la place de et leurs valeurs et (numéro cité) ; on aurait alors cette équation du premier ordre
![{\displaystyle \left[y+(m-x)y'\right]\left[y+(n-x)y'\right]=\mathrm {K} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32f1595871cdaf9edfa63580ca282551cf5135b3)
dont il ne serait pas aisé de trouver l’équation primitive par les méthodes ordinaires.
Mais, si l’on prend les fonctions primes de cette équation, il vient celle-ci,
y''+\left[y+(m-x)y'\right](n-x)y''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5117adbc6b5b34b6583c25858e8be538409f8e6)
dont tous les termes se trouvent multipliés par de sorte qu’elle peut se décomposer dans ces deux :
+\left[y+(m-x)y'\right](n-x)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec18df6162767f5306b2a322224f08aa8d15126)
La première, qui est du second ordre, donne sur-le-champ celle-ci du premier,
