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la même pour la droite et pour la courbe (n^o 10), ou, en général, si les valeurs de $a'$ et de $b',$ regardées comme fonctions d’une troisième variable, sont les mêmes, et par conséquent aussi, si les valeurs de ${\frac {a'}{c'}}$ et ${\frac {b'}{c'}}$ sont les mêmes, soit que les quantités $x$ et $y$ soient traitées comme variables ou non, c’est-à-dire si dans ces valeurs les parties dépendantes des variations de $x,$ et $y$ sont nulles ; or c’est ce qui a lieu en effet, comme on le voit par les équations de l’article précédent,

$a'(x-a)+b'(y-b)=cc'\quad {\text{et}}\quad a'+b'y'=0,$

qui servent à la détermination de ${\frac {a'}{c'}}$ et de ${\frac {b'}{c'}},$ et qui sont les équations primes de

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=c^{2}\quad {\text{et}}\quad x+a-y'(y-b)=0,$

en y traitant $x$ et $y$ comme constantes, et $a,b$ comme seules variables.

Donc, puisque le rayon osculateur d’une courbe est partout tangent à la courbe des centres et est en même temps égal à l’arc de cette courbe, il s’ensuit qu’il peut être pris pour ce même arc étendu en ligne droite, et qu’ainsi toute courbe peut être regardée comme formée par le développement de celle qui est le lieu des centres des cercles osculateurs. C’est en quoi consiste la théorie des développées d’Huygens, qui n’avait été démontrée que par des considérations géométriques. L’analyse précédente fournit en même temps l’explication d’un paradoxe qui se présente lorsqu’on cherche, par les formules connues, la courbe formée par le développement d’une courbe donnée.

Si l’on substitue dans l’équation de cette courbe les expressions de ses coordonnées $a$ et $b$ en $x,y,y'$ et $y'',$ on a évidemment une équation du second ordre, d’où il paraît s’ensuivre que l’équation en $x$ et $y$ de la courbe cherchée devrait contenir deux constantes arbitraires, tandis que la génération de cette courbe par le développement de la courbe donnée n’admet qu’une seule constante arbitraire dépendant du point où commence le développement.