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surface, et, par conséquent, son rayon sera perpendiculaire à la même surface. Ainsi, en regardant la valeur de $c$e rayon comme indéterminée, les trois quantités $a,b,c$ seront les coordonnées de la perpendiculaire à la surface, $d$ étant variable et $x,y,z$ constantes.

Si l’on veut avoir ces éléments $a,b,c$ ainsi que les angles $\alpha$ et $\beta$ du n^o 39, exprimés en différentielles, il n’y aura qu’à représenter les fonctions dérivées $z',$ $z_{_{'}}$ par les différences partielles ${\frac {dz}{dx}},{\frac {dz}{dy}}.$

43. Pour que la sphère devienne osculatrice de la surface, on aura encore trois autres équations, qui seront les trois équations secondes de la première équation ci-dessus ; mais, comme il ne reste plus qu’une arbitraire $d,$ il est clair qu’on ne pourra pas satisfaire à toutes ces équations ; d’où il suit qu’il est impossible de trouver en général une sphère osculatrice d’une surface comme on trouve le cercle osculateur d’une courbe.

Si, au lieu d’une sphère, on voulait employer la surface formée par la rotation d’un arc de cercle autour de sa corde, comme on aurait dans l’équation de cette surface six constantes arbitraires, on pourrait alors déterminer ces éléments de manière que le contact du second ordre eût lieu en général avec une surface quelconque. Il en serait de même pour toute autre surface dont l’équation renfermerait au moins six constantes arbitraires.