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On aurait de cette manière le même résultat que donne la méthode proposée, dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de 1786, pour distinguer les maxima des minima dans le Calcul des variations. Mais, d’après ce que nous avons dit ci-dessus, il faudrait, pour l’exactitude de ce résultat, qu’on pût s’assurer que la valeur de $\nu$ ne deviendra point infinie pour une valeur de $x$ comprise entre les valeurs données $a$ et $b,$ ce qui sera le plus souvent impossible, par la difficulté de trouver l’équation primitive en $\nu$ et $x.$ Sans cette condition, quoique la quantité

$\omega ^{2}\mathrm {M} +\omega \omega '\mathrm {N} +\omega '^{2}\mathrm {P}$

devienne alors de la forme

$\mathrm {P\left(\omega '+{\frac {\omega N}{2P}}\right)^{2}} ,$

et qu’elle soit, par conséquent, toujours positive ou négative, suivant que la valeur de $\mathrm {P}$ le sera, on ne sera jamais certain de l’état positif ou négatif de sa fonction primitive.

68. Pour en donner un exemple qui pourra servir en même temps d’application de la méthode que nous venons d’exposer, supposons que la fonction $f(x,y,y',\ldots ),$ dont la fonction primitive doit être un maximum ou minimum, soit

$y'^{2}+2my'y+ny^{2}\,;$

en prenant les fonctions primes et secondes, on aura

$f'(y)=2(my'+ny),\qquad f'(y')=2(y'+my),$

$f''(y)=2n,\quad f''(y,y')=2m,\quad f''(y')=2\,;$

substituant ces valeurs dans l’équation générale du n^o 62, qui, dans ce cas, se réduit à

$f''(y)-\left[f'(y')\right]'=0,$

on aura

$2(my'+ny)-2(y''-my')=0,$

savoir

$y''-ny=0$