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par les formules du même numéro on trouve $q=3\mathrm {R} \,:$ donc la quantité $\mathrm {R}$ sera elle-même aussi une fonction prime, et ainsi de suite. En effet, si $r,s,\ldots$ sont les premiers termes du développementdes quantités $\mathrm {R,S} ,\ldots ,$ on aura (numéro cité), après la substitution de $y+\omega$ à la place de $\omega ,$ $r=4\mathrm {S} ,\ s=5\mathrm {T} ,\ldots ,$ d’où l’on conclura, en suivant le même raisonnement, que les quantités $\mathrm {S,T} ,\ldots$ seront aussi, chacune en particulier, des fonctions primes.

Donc toute la série $\mathrm {P+Q+R} +\ldots$ sera nécessairement la fonction prime d’une fonction de $x,y,y',\ldots ,\omega ,\omega ',\ldots ,$ quelles que soient les valeurs de $y$ et $\omega$ en $x.$ Donc la quantité

$f(x,y+\omega ,y'+\omega ',\ldots )-f(x,y,y',\ldots ),$

qui est égale à cette série, sera une fonction prime en donnant à $\omega$ une valeur quelconque, et, par conséquent aussi, en faisant $\omega =y\,;$ or, dans ce cas, la fonction $f(x,y+\omega ,y'+\omega ',\ldots )$ ne sera plus qu’une simple fonction de $x$ sans $y$ ni $\omega ,$ qui pourra être censée la fonction prime d’une fonction de $x.$ Donc la fonction $f(x,y,y',y'',\ldots )$ sera elle-même nécessairement la fonction prime d’une fonction de $x,y,y',\ldots .$

75. Il suit de là que l’équation

$f'(y)-\left[f'(y')\right]'+\left[f'(y'')\right]''-\ldots =0$

contient le caractère par lequel on peut reconnaitre si la fonction $f(x,y,y',y'',\ldots )$ est ou non une fonction prime.

On trouvera de la même manière que les deux équations

${\begin{aligned}f'(y)-\left[f'(y')\right]'&+\left[f'(y'')\right]''-\ldots =0,\\f'(z)-\left[f'(z')\right]'&+\left[f'(z'')\right]''-\ldots =0\end{aligned}}$

renferment le caractère par lequel on pourra reconnaître si la fonction $f(x,y,y',\ldots ,z,z',\ldots )$ est ou non une fonction prime, les quantités $y$ et $z$ étant indépendantes.