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l’ellipsoïde dont $a,b,c$ sont les trois demi-axes, l’expression

$2\pi \left[ab+f\left(c^{2}\right)+\alpha c^{2}if'\left(c^{2}\right)+{\frac {1}{2}}\beta c^{4}i^{2}f''\left(c^{2}\right)+{\frac {1}{2.3}}\gamma c^{6}i^{3}f'''\left(c^{2}\right)+\ldots \right],$

série qui sera d’autant plus convergente que la quantité $i$ sera plus petite.

À l’égard des coefficients $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ il est facile de les déterminer en résolvant les puissances de $\cos u$ en cosinus d’angles multiples de $u$ par le moyen de l’expression exponentielle imaginaire de $\cos u$ (n^o 22, I^re Partie), et, comme les cosinus ont pour fonctions primitives les sinus correspondants, lesquels deviennent nuls aux deux extrémités où $u=0$ et $u=2\pi ,$ il s’ensuit qu’il ne restera que les termes indépendants de $u,$ multipliés par $2\pi ,$ où il est facile de voir que ces termes ne sont que les coefficients du terme moyen du binôme, élevé à la deuxième, à la quatrième, à la sixième, etc. puissance, divisé par la même puissance de $2.$ Ainsi l’on aura

$\alpha ={\frac {2}{4}},\quad \beta ={\frac {4.3}{4.8}},\quad \gamma ={\frac {6.5.4}{4.8.12}},\quad \ldots .$