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successivement, puisque les quantités $p$ et $q$ sont regardées comme indépendantes.

En substituant d’abord $x+i$ à la place de $x$ dans la fonction $p,$ la fonction $f(p,q),$ regardée seulement comme fonction de $p,$ devient

$f(p,q)+ip'f'(p)+\ldots \,;$

j’écris simplement $f'(p)$ pour désigner la fonction prime de $f(p,q),$ prise relativement à $p$ seul, $q$ étant regardée comme constante. Substituons maintenant $x+i$ pour $x$ dans $q\,;$ la fonction $f(p,q)$ deviendra pareillement

$f(p,q)+iq'f'(q)+\ldots ,$

où $f'(q)$ représente la fonction prime de $f(p,q),$ prise relativement à $q$ seul, $p$ étant regardée comme constante. Quant au terme $ip'f'(p),$ il est visible que, par cette nouvelle substitution, il se trouverait augmenté de termes multipliés par $i^{2},\ i^{3},\ldots .$ Ainsi les deux premiers termes de la série provenant du développement de $f(p,q),$ après la substitution de $x+i$ pour $x,$ seront simplement

$f(p,q)+i\left[p'f'(p)+q'f'(q)\right],$

de sorte qu’on aura

$y'=p'f'(p)+q'f'(q).$

Si $y$ était une fonction de $p,q,r,$ représentée par $f(p,q,r),$ on trouverait de la même manière

$y'=p'f'(p)+q'f'(q)+r'f'(r),$

et ainsi de suite.

D’où il est aisé de tirer cette conclusion générale, que la fonction prime d’une fonction composée de différentes fonctions particulières sera la somme des fonctions primes relatives à chacune de ces mêmes fonctions, considérées séparément et indépendamment l’une de l’autre.

Ce principe, combiné avec le précédent, suffira pour trouver les fonctions primes de toutes sortes de fonctions, ainsi que les autres fonctions dérivées des ordres supérieurs.