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directement des équations de condition qui doivent avoir lieu entre les coordonnées des différents corps du système, en prenant les fonctions primes des fonctions qui sont nulles en vertu de ces équations. Les fonctions primes de la même fonction, prises par rapport aux différentes coordonnées, sont toujours proportionnelles aux forces qui agissent suivant ces coordonnées, et qui dépendent de la condition exprimée par cette fonction.

J’étais déjà arrivé à un résultat semblable dans la Mécanique analytigue, en partant du principe général des vitesses virtuelles, et, en effet, ce principe est renfermé dans le résultat que nous venons de trouver ; car il est évident que, si plusieurs forces appliquées à un système de corps sont en équilibre, elles doivent être égales et directement opposées à celles qui résultent de leur action mutuelle.

Soient $X,Y,Z$ les forces appliquées à l’un des corps suivant les directions des coordonnées $x,y,z$ prolongées, $\Xi ,\Upsilon ,\Sigma$ les forces appliquées à un autre corps suivant le prolongement de ses coordonnées $\xi ,\eta ,\zeta ,$ et $\mathrm {X,Y,Z}$ les forces appliquées à un troisième corps suivant le prolongement de ses coordonnées $\mathrm {x,y,z} \,;$ on aura, par ce qu’on vient de démontrer,

${\begin{alignedat}{2}X=&\Pi \operatorname {F} '(x)+\Psi \Phi '(x),\quad &Y=&\Pi \operatorname {F} '(y)+\Psi \Phi '(y),\quad &Z=&\Pi \operatorname {F} '(z)+\Psi \Phi '(z),\\\Xi =&\Pi \operatorname {F} '(\xi )+\Psi \Phi '(\xi ),&\Upsilon =&\Pi \operatorname {F} '(\eta )+\Psi \Phi '(\eta ),&\Sigma =&\Pi \operatorname {F} '(\zeta )+\Psi \Phi '(\zeta ),\\\mathrm {X} =&\Pi \operatorname {F} '(\mathrm {x} )+\Psi \Phi '(\mathrm {x} ),&\mathrm {Y} =&\Pi \operatorname {F} '(\mathrm {y} )+\Psi \Phi '(\mathrm {y} ),&\mathrm {Z} =&\Pi \operatorname {F} '(\mathrm {z} )+\Psi \Phi '(\mathrm {z} ),\end{alignedat}}$

et de là on tirera immédiatement

${\begin{aligned}Xx'&+Yy'+Zz'+\Xi \xi '+\Upsilon \eta '+\Sigma \zeta '+\mathrm {Xx'+Yy'+Zz'} \\=&\Pi \operatorname {F} (x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta ,\mathrm {x,y,z} )'+\Psi \Phi (x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta ,\mathrm {x,y,z} )'.\end{aligned}}$

Le second membre de cette équation est évidemment nul, en vertu des équations de condition, puisque les quantités indéterminées, se trouvent multipliées par les fonctions primes de ces équations ; donc on aura

$Xx'+Yy'+Zz'+\Xi \xi '+\Upsilon \eta '+\Sigma \zeta '+\mathrm {Xx'+Yy'+Zz'} =0,$

équation générale du principe des vitesses virtuelles pour l’équilibre