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36. Maintenant, si les corps du système n’éprouvent d’autres actions que celles qui peuvent résulter de leur liaison mutuelle, les équations du mouvement relatives aux coordonnées $x,y,\xi ,\eta ,\ldots$ seront de cette forme (n^os 26 et 30) :

${\begin{aligned}&\mathrm {M} x''=\Pi \operatorname {F} '(x)+\Psi \Phi '(x)+\ldots ,\\&\mathrm {M} y''\,=\Pi \operatorname {F} '(y)+\Psi \Phi '(y)+\ldots ,\\&\mathrm {N} \ \xi ''\,=\Pi \operatorname {F} '(\xi )\,+\Psi \Phi '(\xi )+\ldots ,\\&\mathrm {N} \eta ''\ =\Pi \operatorname {F} '(\eta )+\Psi \Phi '(\eta )+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, si l’on ajoute la seconde de ces équations multipliée par $x,$ la quatrième multipliée par $\xi ,$ et ainsi de suite, et qu’on en retranche la première multipliée par $y,$ la troisième multipliée par $\eta ,$ etc., on aura, en vertu des équations de condition trouvées ci-dessus, l’équation

$\mathrm {M} (xy''-yx'')+\mathrm {N} (\xi \eta ''-\eta \xi '')-\ldots =0,$

qui est aussi, comme l’on voit, indépendante des conditions du système.

En prenant son équation primitive, on aura

$\mathrm {M} (xy'-yx')+\mathrm {N} (\xi \eta '-\eta \xi ')+\ldots =\mathrm {C} ,$

$\mathrm {C}$ étant une constante arbitraire. Ainsi l’on a tout de suite une équation du premier ordre entre les coordonnées $x,y,\xi ,\eta ,\ldots$ des différents corps.

Or $xy'-yx'=xy'+yx'-2yx'\,;$ mais $xy'+yx'$ est la fonction prime de $xy,$ c’est-à-dire du double de l’aire du triangle rectangle dont $x$ est la base et $y$ la hauteur, et $yx'$ est la fonction prime de l’aire de la courbe comprise entre l’abscisse $x$ et l’ordonnée $y\,;$ donc ${\frac {xy'-yx'}{2}}$ sera la fonction prime de la différence du triangle et de l’aire dont nous parlons, et il est facile de voir que cette différence est, en général, égale à l’espace compris entre la courbe dont $x$ et $y$ sont les coor-