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et ainsi des autres. Donc on aura

${\begin{aligned}pq'-qp'&=(x-\alpha t)(y'-\beta )-(y-\beta t)(x'-\alpha )\\&=xy'-yx'-\alpha (ty'-y)+\beta (tx'-x),\end{aligned}}$

et pareillement

$\varpi \chi '-\chi \varpi '=\xi \eta '-\eta \xi '-\alpha (t\eta '-\eta )+\beta (t\xi '-\xi )\,;$

et ainsi des autres formules semblables. On aura donc

$\mathrm {M} (pq'-qp')+\mathrm {N} (\varpi \chi '-\chi \varpi ')+\ldots$

${\begin{aligned}=&\mathrm {M} (xy'-yx')+\mathrm {N} (\xi \eta '-\eta \xi ')+\ldots \\&\qquad -\alpha t(\mathrm {M} y'+\mathrm {N} \eta '+\ldots )+\alpha (\mathrm {M} y+\mathrm {N} \eta +\ldots )\\&\qquad \qquad +\beta t(\mathrm {M} x'+\mathrm {N} \xi '+\ldots )-\beta (\mathrm {M} x+\mathrm {N} \xi +\ldots ).\end{aligned}}$

Or, dans ce cas (n^os 32 et 33),

$\mathrm {M} x+\mathrm {N} \xi +\ldots =at+b,\quad \mathrm {M} y+\mathrm {N} \eta +\ldots =ct+d,$

$a,b,c,d$ étant des constantes donc, faisant ces substitutions, il viendra

$\mathrm {M} (pq'-qp')+\mathrm {N} (\varpi \chi '-\chi \varpi ')+\ldots$

${\begin{aligned}=&\mathrm {M} (xy'-yx')+\mathrm {N} (\xi \eta '-\eta \xi ')+\ldots +\alpha d-\beta b\\=&\mathrm {C} +\alpha d-\beta b.\end{aligned}}$

Ainsi la quantité $\mathrm {M} (pq'-qp')+\mathrm {N} (\varpi \chi '-\chi \varpi ')+\ldots$ sera encore constante par conséquent, la somme des aires décrites autour de l’axe des $r$ passant par le point mobile, multipliées chacune par la masse respective, sera aussi proportionnelle au temps.

On trouvera de la même manière que les deux autres quantités

$\mathrm {M} (pr'-rp')+\mathrm {N} (\varpi \rho '-\rho \varpi ')+\ldots ,\quad \mathrm {M} (qr'-rq')+\mathrm {N} (\chi \rho '-\rho \chi ')+\ldots$

seront constantes, et qu’ainsi la somme des aires décrites autour des axes de $q$ et $p$ passant par le même point mobile, multipliées chacune par la masse respective, sera encore proportionnelle au temps.

Donc, puisque, dans le cas dont il s’agit, le centre de gravité du système ne peut avoir qu’un mouvement rectiligne et uniforme (n^o 33),