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de $(1+a-1)^{x},\ \left[(1+a-1)^{n}\right]^{\frac {x}{n}},$ ce qui est encore la même chose que $a^{x}\,;$ on aura

$y=\left[(1+a-1)^{n}\right]^{\frac {x}{n}},$

$n$ étant une quantité quelconque qui disparaît d’elle-même dans la valeur de $y$.

Je développe maintenant le binôme $(n+a-1)^{n}$ dans la série

$1+n(a-1)+{\frac {n(n-1)}{2}}(a-1)^{2}+{\frac {n(n-1)(n-1)}{2.3}}(a-1)^{3}+\ldots ,$

et j’ordonne les termes suivant les puissances de $n\,;$ j’aurai

$(1+a-1)^{n}=1+\mathrm {A} n+\mathrm {B} n^{2}+\ldots ,$

les coefficients $\mathrm {A,B} ,\ldots$ étant donnés en $a,$ et il est aisé de voir qu’on aura d’abord

$\mathrm {A} =(a-1)-{\frac {(a-1)^{2}}{2}}+{\frac {(a-1)^{3}}{3}}-\ldots ,$

cette quantité $\mathrm {A}$ étant la même que celle du n^o 11 ; à l’égard des autres coefficients, nous n’aurons pas besoin de les chercher, puisqu’ils disparaîtront du calcul, comme on va le voir.

Faisant cette substitution, nous aurons

$y=\left(1+\mathrm {A} n+\mathrm {B} n^{2}+\ldots \right)^{\frac {x}{n}},$

et, développant à la manière du binôme, il viendra

${\begin{aligned}y=&1+{\frac {x}{n}}\left(\mathrm {A} n+\mathrm {B} n^{2}+\ldots \right)+{\frac {x(x-n)}{2n^{2}}}\left(\mathrm {A} n+\mathrm {B} n^{2}+\ldots \right)^{2}\\&+{\frac {x(x-n)(x-2n)}{2.3n^{3}}}\left(\mathrm {A} n+\mathrm {B} n^{2}+\ldots \right)^{3}+\ldots ,\end{aligned}}$

savoir, en effaçant les puissances de $n$ communes aux numérateurs et aux dénominateurs,

${\begin{aligned}y=&1+x\left(\mathrm {A+B} n+\ldots \right)+{\frac {x(x-n)}{2}}\left(\mathrm {A+B} n+\ldots \right)^{2}\\&+{\frac {x(x-n)(x-2n)}{2.3}}\left(\mathrm {A+B} n+\ldots \right)^{3}+\ldots .\end{aligned}}$