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Comme on peut prendre le radical ${\sqrt {-1}}$ en plus ou en moins, il est visible qu’en le prenant successivement en plus et en moins, et soustrayant les deux équations l’une de l’autre, on aura, après avoir divisé par $2\mathrm {A} {\sqrt {-1}},$

$x={\frac {\operatorname {tang} x-{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}x+{\frac {1}{5}}\operatorname {tang} ^{5}x-\ldots }{\mathrm {A} }}.$

Au reste, il est visible que l’équation trouvée au n^o  21,

$\cos x+\sin x{\sqrt {-1}}=1+\mathrm {A} x{\sqrt {-1}}+{\frac {1}{2}}\left(\mathrm {A} x{\sqrt {-1}}\right)^{2}+{\frac {1}{2.3}}\left(\mathrm {A} x{\sqrt {-1}}\right)^{3}+\ldots ,$

se réduit directement à celle-ci

$\cos x+\sin x{\sqrt {-1}}=a^{x{\sqrt {-1}}},$

par la formule du n^o  11, en prenant pour $a$ une quantité dépendante de $\mathrm {A} ,$ comme nous l’avons déterminée dans ce même endroit, c’est-à dire en sorte que $a=e^{\mathrm {A} },$ $e$ étant un nombre donné qui est la base des logarithmes hyperboliques.

De cette formule on tire tout de suite, en prenant le radical en plus et ensuite en moins, les expressions connues de $\sin x,\ \cos x$ en exponentielles imaginaires,

$\sin x={\frac {a^{x{\sqrt {-1}}}-a^{-x{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},\quad \cos x={\frac {a^{x{\sqrt {-1}}}+a^{-x{\sqrt {-1}}}}{2}},$

et, passant des exponentielles aux logarithmes,

$x\operatorname {l} a{\sqrt {-1}}=\operatorname {l} \left(\cos x+\sin x{\sqrt {-1}}\right)=\operatorname {l} \cos x+\operatorname {l} \left(1+\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}\right),$

ou bien, en prenant successivement le radical en plus et en moins, et soustrayant une équation de l’autre,

$x={\frac {1}{\operatorname {l} a}}.{\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\operatorname {l} {\frac {1+\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}{1-\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}}},$

d’où l’on peut déduire les séries trouvées ci-dessus en employant les développements des exponentielles et des logarithmes exposés dans les n^os 18 et 19.