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variable, le volume d’un quelconque de ces parallélipipèdes s’exprimera par $p^{2}.k$, k désignant une constante.

Maintenant déterminons $p^{2}$ en posant $p^{2}.k=V$ ; puis résolvons l’équation $(a-x)x^{2}=p^{2}$ (résolution donnée par l’auteur dans son lemme) ; ayant déterminé $x$, prenons sur AB (fig. 35) un segment $DR=x$, et faisons le parallélipipède BK semblable à P. On aura, volume de $BK=x^{2}.k$. Mais on voit que $BK:AK=BD:AD$ ; donc volume de $AK=(a-x).x^{2}.k=p^{2}.k=V$ ; ce qu’il s’agissait d’obtenir. —

Je ne m’arrêterai pas à faire remarquer comment les deux constructions données par l’auteur de ce morceau, des équations $(AB\pm x)x^{2}=C^{3}$ (en désignant BD par $x$), sont exactement les mêmes que celles des équations n° 16 et 17 par Alkhayyâmî. Il suffira pour cela de jeter un coup d’œil sur les figures 20, 21 et 34.

Mais ce sur quoi j’appelle l’attention, c’est la limite énoncée dans ce morceau relativement à la solubilité de l’équation $(AB-x)x^{2}=C^{3}$, c’est-à-dire de l’équation $x^{3}+a=cx^{2}$. Car il n’y a pas d’ambiguïté à ceci : l’auteur déclare, avec une précision parfaite, que le lemme d’Archimède fut ramené par Almâhânî à une équation de la forme $x^{3}+a=cx^{2}$, et que la résolution de cette équation que se proposa Almâhânî dépend à son tour du lemme résolu par l’auteur, c’est-à-dire de la construction de l’équation $(AB-x):C=C^{2}:x^{2}$. La relation qui exprime la limite de la solubilité d’un de ces problèmes enchaînés l’un à l’autre, est donc nécessairement censée être donnée en même temps pour les autres.

Or l’auteur énonce cette limite absolument comme les modernes, c.-à-d. qu’il l’exprime par la relation

$C={\sqrt {{\frac {4}{27}}{\overline {\text{AB}}}^{2}}}$ ou $27a=4c^{2}$.