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à 2. AL. Le pied de la perpendiculaire abaissée du point d’intersection Z des deux coniques, sera le point D qu’il s’agit de déterminer.

Je ne reproduis pas les raisonnements de l’auteur, qui n’offrent rien de particulièrement remarquable, et je me borne à vérifier le résultat énoncé.

Désignons AL, CL, BC par $a$, $b$, $c$ respectivement ; prenant C pour origine des coordonnées, l’équation de la parabole sera $(c-x)^{2}=c.(c-y)$, celle de hyperbole $y^{2}-(x-b)^{2}=a^{2}$. Mais cette dernière équation exprime que $AD=y$, de sorte qu’en vertu de l’équation de la parabole on aura ${\overline {\text{BD}}}^{2}=BC(BC-AD)$, ce qu’il s’agissait d’obtenir.

J’observe encore que l’auteur démontre : 1° que si les deux coniques se rencontrent en deux points, les deux perpendiculaires abaissées des deux points d’intersection déterminent sur BC deux points satisfaisant tous les deux à la condition proposée ; 2° qu’il peut arriver que de toutes les lignes plus petites que BC (*^[1]) et menées de A à BC, aucune ne satisfasse à la condition voulue, et que c’est le cas lorsque les deux sections coniques ne se rencontrent pas, parce qu’alors on aura $AD.BC+{\overline {\text{BD}}}^{2}>{\overline {\text{BC}}}^{2}$.

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Solution anonyme du problème suivant, dont l’auteur dit que « depuis un certain temps les algébristes et les géomètres se sont proposé mutuellement ce problème, sans que ni les uns ni les autres en aient donné une solution satisfaisante. »

Construire un trapèze ABCD (fig. 39) de telle sorte que chacun des côtés AB, AD, BC soit égal à 10, et que l’aire de la figure soit égale à 90.

L’auteur montre expressément que ce problème dépend

1. *) L’équation de la parabole montre immédiatement qu’il doit être $y<c$ ou $AD<BC$.

8.