qu’il s’agit de rendre rationnel les côtés du triangle, c’est-à-dire que dans l’équation (1), non-seulement l’inconnue, mais aussi les coefficient sont asujettis à certaines conditions.
Il se présente ici la question suivante : Si, pour la résolution numérique, l’algébriste arabe exige qu’on satisfasse à l’équation proposée par un nombre entier, il fait donc de l’algèbre indéterminée ?
Il nous manque un élément pour répondre à cette question d’une manière décisive. C’est que l’auteur ne se prononce pas sur la nature des coefficients de l’équation proposée. D’après les termes dont il se sert, on peut croire qu’il considère le terme connu 
comme un nombre entier donné ; mais le coefficient de l’inconnue 
ou simplement (*[1]) 
est laissé entièrement indéterminé. En supposant que ce coefficient doive également être un nombre entier, il s’agit en effet, pour obtenir les conditions de la solubilité « numérique » de l’équation du second degré, de discuter l’équation indéterminée x2 + yx = a. Si, au contraire, on laisse aux constantes de l’équation déterminée proposée toute leur généralité, la détermination des conditions nécessaires pour satisfaire à la proposée par un nombre entier dépend d’un problème plus général.
Ce qu’il y a de certain, c’est que la résolution numérique de l’algébriste arabe comprend : 1° ce qu’aujourd’hui on d"signe par la résolution algébrique d’une équation ; 2° la détermination des conditions nécessaires pour que la fonction des coefficients, qui est égale à l’inconnue, devienne un nombre entier. Alors si les coefficients de l’équation proposée satisfont à ces conditions, la résolution numérique, selon notre auteur, est possible ; dans le cas contraire, elle est impossible.
Vu cette « impossibilité, » la construction géométrique sert, chez l’algébriste arabe, non seulement d’éclaircissement et d’explication, mais de complément nécessaire à la résolution numérique ; et on comprend pour quelles raisons il dit, dès l’abord, que l’objet de l’algèbre est formé autant par le nombre absolu que par les quantités géométriques.
On reconnaît dans cette séparation, portée même trop loin, de la quantité discontinue d’avec la quantité continue, ou, si l’on veut, de la quantité rationnelle d’avec la quantité irrationnelle ; on y reconnaît, dis-je, les
- ↑ *) On pourrait être tenté de trouver ici une autre trace de l’influence de Diophante, puisque celui-ci dit δυνάμειζ pour désigner le coefficient du carré de l’inconnue, de même que l’algébriste arabe désigne par
, le coefficient de l’inconnue. Mais cette suppression du terme « coefficient » se trouve aussi chez Mob. Ben Moûçâ, et il n’existe aucune donnée historique qui prouve qu’aux temps de cet algébriste Diophante ait été déjà connu aux Arabes. Il faut donc chercher ailleurs l’explication de cette coïncidence, à moins qu’on ne veuille la considérer comme accidentelle, et n’ayant rien de très-surprenant en elle-même. - D’un autre côté, on pourrait trouver que le mot 
a l’air d’une traduction du terme πλήθοζ, qui se trouve chez Diophante.
