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4^o Des racines sont égales à un carré ;

5^o Des carrés sont égaux à un cube ;

6^o Des racines sont égales à un cube.

Trois de ces espèces se trouvent mentionnées dans les traités des algébristes (*^[1]). Ils disent : La chose est au carré comme le carré au cube ; il suit donc nécessairement que l’égalité entre le carré et le cube soit équivalente à celle entre la chose et le carré (**^[2]), et de même le nombre est au carré comme la racine au cube (***^[3]) ; mais ils n’avaient pas démontré cela géo7métriquement. Quant au nombre qui est égal au cube, il n’y a de moyen, pour trouver le côté de ce dernier, que par la connaissance préalable de la suite des nombres cubiques (****^[4]) lorsque le problème est numérique ; lorsqu’il est géométrique, il n’est résoluble que par les sections coniques.

Les équations composées sont en partie trinomes, en partie quadrinomes. Les espèces des équations trinomes sont au nombre de douze. Les trois premières sont (*****^[5]) :

1^o Un carré et des racines sont égaux à un nombre ;

2^o Un carré et un nombre sont égaux à des racines ;

3^o Des racines et un nombre sont égaux à un carré.

Ces trois espèces se trouvent mentionnées dans les traités des algébristes, et y sont démontrées géométriquement, mais pas numériquement.

↑ A savoir, les numéros 1, 2, 4.
↑ **) $x:x^{2}=x^{2}:x^{3}$ donc $ax^{2}=x^{3}$ lorsque $ax=x^{2}$ .
↑ ***) $a:x^{2}=ax:x^{3}$ (donc $ax=x^{3}$ lorsque $a=x^{2}$ ).
↑ ****) Le mot « istikrd » désigne proprement l’action d’aller de place en place ; ensuite il indique un jugement par induction, fondé sur la connaissance des cas particuliers qu’on obtient en les parcourant l’un après l’autre (Voir Notices et Extraits, tome x, p. 42). En partant toujours de cette signification fondamentale bien établie, il faudra rendre ce terme de différentes manières, selon les circonstances. Voir p. 8 ult. sqq., p. 10, lig. 7, p. 33 passim, p. 48, lig. 5 du texte arabe, — et addition C, à peu près à la fin, où il est question du cas ${\frac {C'}{C}}={\frac {2}{1}}.$
↑ *****) 7^o $x^{2}+bx=a$ ; 8^o $x^{2}+a=bx$ ; 9^o $bx+a=x^{2}.$

[1] A savoir, les numéros 1, 2, 4.

[2] **) $x:x^{2}=x^{2}:x^{3}$ donc $ax^{2}=x^{3}$ lorsque $ax=x^{2}$ .

[3] ***) $a:x^{2}=ax:x^{3}$ (donc $ax=x^{3}$ lorsque $a=x^{2}$ ).

[4] ****) Le mot « istikrd » désigne proprement l’action d’aller de place en place ; ensuite il indique un jugement par induction, fondé sur la connaissance des cas particuliers qu’on obtient en les parcourant l’un après l’autre (Voir Notices et Extraits, tome x, p. 42). En partant toujours de cette signification fondamentale bien établie, il faudra rendre ce terme de différentes manières, selon les circonstances. Voir p. 8 ult. sqq., p. 10, lig. 7, p. 33 passim, p. 48, lig. 5 du texte arabe, — et addition C, à peu près à la fin, où il est question du cas ${\frac {C'}{C}}={\frac {2}{1}}.$

[5] *****) 7^o $x^{2}+bx=a$ ; 8^o $x^{2}+a=bx$ ; 9^o $bx+a=x^{2}.$

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