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La démonstration géométrique de la seconde espèce est la suivante (*^[1]). Supposons que la ligne AB (fig. 1) soit donnée et égale au nombre donné, et que AC soit égale à l’unité et perpendiculaire à AB. Complétons le rectangle AD. Il est connu alors que la mesure du rectangle AD est ce nombre donné. Nous construisons ensuite un carré égal au rectangle AD, lequel soit le carré E, ainsi qu’il a été expliqué par Euclide dans la quatorzième proposition du second livre de son ouvrage. Le carré E sera donc égal au nombre donné et connu et son côté sera pareillement connu, vu la démonstration donnée par Euclide. Mais c’est ce qu’il s’agissait d’obtenir.

Toutes les fois que nous dirons dans ce Traité : « un nombre est égal à un rectangle », nous entendrons par le nombre un quadrilatère à angles droits, dont l’un des côtés est l’unité, et le second une ligne égale en mesure au nombre donné, en sorte que chacune des parties de sa mesure soit égale au second côté, c’est-à-dire à celui qui a été pris pour unité.

10Troisième espèce. « Un nombre est égal à un cube (**^[2]). » Si l’objet du problème est un nombre, le cube sera donc connu ; et il n’y a d’autre moyen pour en trouver le côté, que

traction des racines des degrés supérieurs quelconques me semble être d’une importance plus que médiocre pour l’histoire des mathématiques chez les Arabes. On sait qu’après la renaissance des lettres, ce furent Stifel et Viète qui abordèrent ce sujet (voyez Francisci Vietæ opera mathematica in unum volumen congesta, ed. Fr. à Schooten ; Lugduni Balavorum, 1646, fol., p. 163 sqq., de numerous potestatem purarum resolutione). Je fais observer que l’extraction de la racine d’un degré quelconque dépend de la formule

$a^{m}+ma^{m-1}b+m2a^{m-2}b^{2}+m3a^{m-3}b^{3}+\dots \ +b^{m}+$

$+m(a+b)^{m-1}c+m2(a+b)^{m-2}c^{2}+m2(a+b)^{m-3}c^{3}+\dots +c^{m}+$

$+m(a+b+c)^{m-1}d+m2(a+b+c)^{m-2}d^{2}+m3(a+b+c){m-3}d^{3}+\dots$


$+d^{m}+$

$+\dots$

$\dots$

$+m(a+b+c+\dots +p)^{m-1}q+m2(a+b+c+\dots$


$<br>+p)^{m-3}q^{3}+m3(a+b+c+\dots +p){m-3}q^{3}++\dots +q^{m}$


$=(a+b+c+d+\dots +p+q)^{m},$ en désignant par m1, m2, etc., les coefficient binomiaux. Comparer à ce sujet une notice historique qui se trouve dans les Nouvelles annales de mathématiques réd. par MM. Terquem Gerono, tom. v, pag. 491 sqq. — Le mot arabe istikasâtoun est une corruption de σταχεία.

1. *) $x^{2}=a=a.1=AB.AC=$ carré E, donc le côté de E = $x.$
2. **) $a=x^{3}\ ;\ x={\sqrt[{3}]{a}}.$