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carré de ZB, qui est la moitié ( du nombre) des racines, le carré de ZA, qui reste, sera connu. En retranchant dans la troisième figure ZA de ZB, et dans la seconde figure en ajoutant ZA à ZB, on obtient pour reste ou pour somme la ligne AB. Et c’est ce qu’il s’agissait de trouver.

On peut, si l’on veut, démontrer cela encore d’autres manières (*^[1]) ; mais nous nous bornons à ceci, de peur d’être prolixe. Supposons (**^[2]) qu’une ligne AB (fig. 8) soit donnée égale à dix, et qu’on demande à retrancher d’elle une ligne telle que, lorsqu’on la multiplie par AB, ce produit soit égal au carré de cette même ligne, plus un autre rectangle, lequel ne soit pas plus grand que le carré de la moitié de AB, c’est-à-dire plus le nombre donné qui soit représenté par le rectangle E. Nous nous proposons donc de retrancher de AB une ligne dont 14le carré plus le rectangle E soit égal au produit de AB en

↑ *) Voici l’exposé de la démonatration que Mohammed Ben Moûçâ (édition de Rosen, page 18 et \\> donne de cette espèce (voyez fig. 7, a) :
Équation proposée : x2 + 2l = 10 x.
Démonstration : AD = x2 ; HB = 21 ; HD = HN . HC = x .10 ;
CG = HG = $\textstyle {\tfrac {HC}{2}}$ = 5 ; GK = CG - GT = 5 - x ;
TK = GK + GT = CG = 5 ; NT = HG =CG = 5 ;
MT = 25 = ( $\textstyle {\tfrac {10}{2}}=x$ ² - $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ ²
KL = KG ; ML = KM - KL = KT - KG =TG
LR = KG = CG - GT = CG - CA = GA ;
ML. LR = TG . GA, MR = TA ;
HT + MR = HT + TA = HB = 21 ; … a
$KR=MT-(HT+MR)=25-21=4$ ; ... ( $\textstyle {\tfrac {b}{2}}=x$ )² = a
RG = $\textstyle {\sqrt[{}]{4}}=2$ ; ... $\textstyle {\sqrt[{}]{a+{\tfrac {b}{2}}2}}-a$
$x=AC=CG-GA=CG-RG=5-2=3$ . — ... $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ - $\textstyle {\sqrt[{}]{{\tfrac {b}{2}}2}}-a$ ;
puis Mohammed Ben Moûçâ ajoute seulement que 5 + 2 satisfera aussi à l’équation proposée, sans le démontrer.
↑ **) AB = 10 = b, E = a. La construction d’Euclide, Éléments VI, 28, implique la détermination d’une ligne BC telle que E = AZ = AB . BC — ${\overline {\text{BC}}}$ ² ou ${\overline {\text{BC}}}$ ² + a = b . BC donc BC = x.

[1] *) Voici l’exposé de la démonatration que Mohammed Ben Moûçâ (édition de Rosen, page 18 et \\> donne de cette espèce (voyez fig. 7, a) :
Équation proposée : x2 + 2l = 10 x.
Démonstration : AD = x2 ; HB = 21 ; HD = HN . HC = x .10 ;
CG = HG = $\textstyle {\tfrac {HC}{2}}$ = 5 ; GK = CG - GT = 5 - x ;
TK = GK + GT = CG = 5 ; NT = HG =CG = 5 ;
MT = 25 = ( $\textstyle {\tfrac {10}{2}}=x$ ² - $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ ²
KL = KG ; ML = KM - KL = KT - KG =TG
LR = KG = CG - GT = CG - CA = GA ;
ML. LR = TG . GA, MR = TA ;
HT + MR = HT + TA = HB = 21 ; … a
$KR=MT-(HT+MR)=25-21=4$ ; ... ( $\textstyle {\tfrac {b}{2}}=x$ )² = a
RG = $\textstyle {\sqrt[{}]{4}}=2$ ; ... $\textstyle {\sqrt[{}]{a+{\tfrac {b}{2}}2}}-a$
$x=AC=CG-GA=CG-RG=5-2=3$ . — ... $\textstyle {\tfrac {b}{2}}$ - $\textstyle {\sqrt[{}]{{\tfrac {b}{2}}2}}-a$ ;
puis Mohammed Ben Moûçâ ajoute seulement que 5 + 2 satisfera aussi à l’équation proposée, sans le démontrer.

[2] **) AB = 10 = b, E = a. La construction d’Euclide, Éléments VI, 28, implique la détermination d’une ligne BC telle que E = AZ = AB . BC — ${\overline {\text{BC}}}$ ² ou ${\overline {\text{BC}}}$ ² + a = b . BC donc BC = x.

[1]

[2]