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de la troisième BC comme la troisième BC à la première AZ. Le cube de BC, que nous avons fait égal au nombre donné, sera donc égal au solide, dont la base est le carré de BZ et la hauteur AZ. Mais ce solide, qui a pour base le carré de BZ et pour hauteur AZ, est égal au cube de BZ, plus le solide dont la base est le carré de BZ et la hauteur AB. Cependant, ce solide, ayant pour base le carré de BZ et pour hauteur AB, est égal au nombre donné de carrés. En sorte que le cube de BZ, plus le nombre donné de carrés du même, est égal au nombre donné ; et c’est ce que nous nous proposions de montrer.

Cette espèce ne comprend ni variété de cas ni problèmes impossibles (*^[1]). Elle a été résolue au moyen des propriétés de la parabole combinées avec celles de l’hyperbole.

Cinquième espèce des six espèces d’équations trinômes qui restaient à être discutées. « Un cube et un nombre sont égaux à des carrés (**^[2]). »

Représentons par la ligne AC (fig. 2.1) le nombre des carrés, et décrivons un cube égal au nombre donné. Que le côté de ce

↑ *) L’équation $x^{2}+cx^{2}-a=0$ a toujours une racine réelle et positive, tandis que ses deux autres racines sont négatives ou imaginaires, et conséquemment négligées par l’algébriste arabe.
↑ **) xvii, $x^{3}+a=cx^{2}$ . $AC=c$ , ${\overline {\text{H}}}^{3}=a$ .
a, c, x sont considérés comme des quantités positives.
H = > < AC. I, H = AC ... x = > < H
l) $x=H$ … $AC.x^{2}={\overline {\text{H}}}^{3}$ ou $cx^{2}=a$ , donc $cx^{2}<a+x^{2}$
2) $x<H$ … $AC.x^{2}<{\overline {\text{H}}}^{3}$ ou $cx^{2}<a$ , donc $cx^{2}<a+x^{2}$
3) $x>H$ … $AC.x^{2}>AC.x^{2}$ ou $x^{2}>cx^{2}$ , donc $x^{3}+a>cx^{2}$
II, $H>AC$ ... impossible par des raisons tout à fait analogues.
III, $H<AC,BC=H$ ... BC = > < AB ou $\textstyle {\sqrt[{3}]{a}}=><{\tfrac {c}{2}}$ : carré $BCDE={\overline {\text{H}}}^{3}=a^{\tfrac {a}{3}}$ .
CA, CE asymptotes de l’hyperbole équilatère DZ ( fig. 21, 1), DT (fig. 21, 2, 3), qui passe par le point D.
A sommet, AC axe, BC paramètre de la parabole AT (fig. 21, 1), AL (fig. 21, 2), AK (fig. 21, 3).

[1] *) L’équation $x^{2}+cx^{2}-a=0$ a toujours une racine réelle et positive, tandis que ses deux autres racines sont négatives ou imaginaires, et conséquemment négligées par l’algébriste arabe.

[p71-2] **) xvii, $x^{3}+a=cx^{2}$ . $AC=c$ , ${\overline {\text{H}}}^{3}=a$ .
a, c, x sont considérés comme des quantités positives.
H = > < AC. I, H = AC ... x = > < H
l) $x=H$ … $AC.x^{2}={\overline {\text{H}}}^{3}$ ou $cx^{2}=a$ , donc $cx^{2}<a+x^{2}$
2) $x<H$ … $AC.x^{2}<{\overline {\text{H}}}^{3}$ ou $cx^{2}<a$ , donc $cx^{2}<a+x^{2}$
3) $x>H$ … $AC.x^{2}>AC.x^{2}$ ou $x^{2}>cx^{2}$ , donc $x^{3}+a>cx^{2}$
II, $H>AC$ ... impossible par des raisons tout à fait analogues.
III, $H<AC,BC=H$ ... BC = > < AB ou $\textstyle {\sqrt[{3}]{a}}=><{\tfrac {c}{2}}$ : carré $BCDE={\overline {\text{H}}}^{3}=a^{\tfrac {a}{3}}$ .
CA, CE asymptotes de l’hyperbole équilatère DZ ( fig. 21, 1), DT (fig. 21, 2, 3), qui passe par le point D.
A sommet, AC axe, BC paramètre de la parabole AT (fig. 21, 1), AL (fig. 21, 2), AK (fig. 21, 3).

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