le rectangle BE, faisons passer par le point D une hyperbole ayant pour asymptotes les droites AB, AE, à savoir l’hyperbole ZDH. Décrivons ensuite une seconde hyperbole ayant son sommet au point D et son axe sur le prolongement de BD, et dont le paramètre et le grand axe soient égaux tous les deux à DC. Ce sera la courbe TDH. Cette conique coupera nécessairement la première au point D. Alors s’il est possible que les deux coniques se rencontrent encore dans un autre point, le problème est possible ; sinon, il est impossible. Cette rencontre par contact (dans un point) ou par intersection, en deux points, dépend de ce qui est exposé dans le quatrième livre du traité des Coniques. Or, nous avions promis de ne nous en rapporter qu’aux deux (premiers) livres de cet
ouvrage. Toutefois ceci ne touche en rien à notre promesse, puisque, pourvu que les deux coniques se rencontrent, il est indifférent que ce soit par contact ou par intersection. Remarquez cela. La rencontre peut donc être un contact ou une intersection ; mais si l’une des deux coniques coupe l’autre dans un autre point que D, elle la coupera nécessairement en deux points (outre en D).
Dans tous les cas, abaissons du point de l’intersection ou de la rencontre quelle qu’elle soit, disons du point H, deux perpendiculaires HM, KHL. Elles seront connues de position et de grandeur, puisque le point H est connu de position. Alors le rectangle AH est égal au rectangle AD. Retranchons EM, qui est commun à tous les deux ; il reste MD égal à EH ; puis ajoutons à l’un et à l’autre de ceux-ci DH ; il résulte ML égal à EL ; d’où il suit que les côtés, et de même les carrés des côtés, de ces rectangles seront réciproquement proportionnels. Le carré de AB sera donc au carré de BL comme le carré de HL au carré de LD ; mais le carré de HL est au carré, le LD comme
