Alors, si la conique ne rencontre pas le cercle, le problème est impossible. La démonstration de son impossibilité consistera dans l'inversion de ce que nous venons d'exposer. Lorsque C tombe sur la circonférence ou en dehors du cercle, nous prolongeons CZ, et nous décrivons un rectangle ayant un de ses sommets au point C, et tel que, si l'on faisait passer par le sommet opposé au sommet C une hyperbole de la manière 33indiquée ci-dessus, elle rencontrerait le cercle par contact ou par intersection. On reconnaît cela au moyen de quelques essais successifs, en employant un cas de cette règle facile ; que je ne reproduis pas ici, afin de laisser un exercice aux lecteurs de ce Mémoire. Car celui qui ne serait pas assez fort pour trouver cela lui-même ne comprendrait rien à ce traité, fondé sur les trois ouvrages mentionnés ci-dessus.
Nous démontrons l'impossibilité des cas impossibles de cette espèce, par l'inversion de la démonstration que nous avons donnée pour les cas possibles. Pour cet effet, nous constatons d'abord que le côté du cube doit nécessairement être plus petit que EB, qui représente le nombre donné des carrés (*[1]), parce que, si le côté du cube était égal au nombre donné des carrés, ce cube serait égal au nombre donné de carrés du même, sans qu'on ajoute encore au premier quelque autre chose en fait de nombre ou de côtés du cube ; et si le côté du cube était plus grand que le nombre donné des carrés, le cube lui-même serait déjà plus grand que le nombre donné de carrés du même, sans qu'on ajoute encore quelque chose
- ↑ *) Si l'on avait , il s'ensuivrait et ; de sorte que, pour que l'équation puisse subsister, il faut qu'on ait .
dans la règle qu'il va donner aussitôt, a suivi les traces d'une discussion donnée par ce mathématicien, qui, de l'aveu de l'auteur, s'était occupé antérieurement de cette équation. Mais à la fin, Alkhayyâmî, comme on verra, rejette toutes ces particularités inutiles, et leur substitue une règle qui ne contient en effet que ce qui suffit et ce qui est nécessaire.
