équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {M_{2}=KM_{1}} ,\\&\mathrm {M_{3}=KM_{2}-M_{1}} ,\\&\mathrm {M_{4}=KM_{3}-M_{2}} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&\mathrm {M} _{m-1}=\mathrm {KM} _{m-2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50f8e2dfaafc0010cc63f945ab6e4302dde73d71)
d’où l’on doit tirer les valeurs des ![{\displaystyle \mathrm {M} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1688d03c31d091e6090c3c8e5e0f47a4c2802191)
Pour y parvenir, je considère que, ces équations étant toutes semblables, on peut les exprimer généralement par
![{\displaystyle \mathrm {M_{\mu -1}=KM_{\mu -1}-M_{\mu -2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d633cdc511150254c5d887fdd064f70e12a47ca5)
posant pour
tous les nombres entiers positifs depuis zéro jusqu’à
laquelle équation contient évidemment une suite récurrente, dont l’échelle de relation est
On aura donc, pour la valeur de
l’expression
où
et
sont des constantes, et
et
expriment les racines de l’équation du second degré
De cette équation l’on tire
![{\displaystyle z={\frac {\mathrm {K} }{2}}\pm {\sqrt {{\frac {\mathrm {K} ^{2}}{4}}-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a96e8e1cf04bec191e2f4ecd5ace908ba0185cb)
ce qui donne
![{\displaystyle a={\frac {\mathrm {K} }{2}}+{\sqrt {{\frac {\mathrm {K} ^{2}}{4}}-1}},\qquad b={\frac {\mathrm {K} }{2}}-{\sqrt {{\frac {\mathrm {K} ^{2}}{4}}-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4d8a7487dbfb599dd9de90e2b50ae0b5757e469)
Pour déterminer les constantes
et
on fera la comparaison des deux premiers termes, savoir
et
or
est évidemment égal à zéro, puisque l’équation qu’il devrait multiplier ne se trouve pas, et
est égal à
par supposition ; on aura donc
![{\displaystyle \mathrm {A+B} =0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {A} a+\mathrm {B} b=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30756e2ce8565a3ce5126d5c5795a610f873a486)
d’où l’on déduit
![{\displaystyle \mathrm {B=-A} ,\qquad \mathrm {A} (a-b)=1,\qquad \mathrm {A} ={\frac {1}{a-b}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {B} =-{\frac {1}{a-b}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9943e1ce29811e98139256ed7287a77363c5fdf)