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De même,

${\begin{aligned}p^{2m}=&{\frac {1}{2^{m}}}\left(\cos {\frac {\lambda \varpi }{4m}}+\sin {\frac {\lambda \varpi }{4m}}{\sqrt {-1}}\right)^{2m}={\frac {\cos {\cfrac {\lambda \varpi }{2}}+\sin {\cfrac {\lambda \varpi }{2}}{\sqrt {-1}}}{2^{m}}},\\q^{2m}=&{\frac {1}{2^{m}}}\left(\cos {\frac {\lambda \varpi }{4m}}-\sin {\frac {\lambda \varpi }{4m}}{\sqrt {-1}}\right)^{2m}={\frac {\cos {\cfrac {\lambda \varpi }{2}}-\sin {\cfrac {\lambda \varpi }{2}}{\sqrt {-1}}}{2^{m}}},\end{aligned}}$

$p^{2m}-q^{2m}={\frac {\sin {\cfrac {\lambda \varpi }{2}}{\sqrt {-1}}}{2^{m-1}}}.$

Toutes ces valeurs étant ainsi trouvées, on divisera $p^{2m}-q^{2m}$ par $\left(p^{2}-q^{2}\right)\left(p^{2}-2pq\cos {\frac {\mu \varpi }{2m}}+q^{2}\right),$ ce qui donne

${\frac {\sin {\cfrac {\lambda \varpi }{2}}}{2^{m-1}\sin {\cfrac {\lambda \varpi }{2m}}\left(\cos {\cfrac {\lambda \varpi }{2m}}-\cos {\cfrac {\mu \varpi }{2m}}\right)}},$

laquelle expression multipliée par $\mathrm {L}$ devra être égale au premier membre de l’équation trouvée dans cet article ; donc, en ôtant de part et d’autre le diviseur commun $\sin {\frac {\lambda \varpi }{2m}},$ on trouvera

${\begin{aligned}\mathrm {D} _{1}&\sin {\frac {\lambda \varpi }{2m}}+\mathrm {D} _{2}\sin {\frac {2\lambda \varpi }{2m}}+\mathrm {D} _{3}\sin {\frac {3\lambda \varpi }{2m}}+\ldots +\mathrm {D} _{m-1}\sin {\frac {(m-1)\lambda \varpi }{2m}}\\&={\frac {\mathrm {L} }{2^{m-1}}}{\frac {\sin {\cfrac {\lambda \varpi }{2}}}{\left(\cos {\cfrac {\lambda \varpi }{2m}}-\cos {\cfrac {\mu \varpi }{2m}}\right)}},\end{aligned}}$

équation qui doit être identique.

Si donc on multiplie toute l’équation par $\cos {\frac {\lambda \varpi }{2m}}-\cos {\frac {\mu \varpi }{2m}},$ et qu’àprès avoir réduit les produits des sinus par les cosinus en simples sinus, on fasse la comparaison des termes, on trouvera les valeurs cherchées