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progression récurrente, dans laquelle, en commençant par le bas, il est

${\begin{aligned}&\mathrm {D} _{m}=0,\\&\mathrm {D} _{m-1}={\frac {\mathrm {L} }{2^{m-2}}},\\&\mathrm {D} _{m-2}=2\mathrm {D} _{m-1}\cos {\frac {\mu \varpi }{2m}}-\mathrm {D} _{m},\\&\mathrm {D} _{m-3}=2\mathrm {D} _{m-2}\cos {\frac {\mu \varpi }{2m}}-\mathrm {D} _{m-1},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Le terme général de cette suite se trouvera comme ci-dessus (19) exprimé de cette façon

$\mathrm {D} _{m-n}=\mathrm {A} a^{n}+\mathrm {B} b^{n},$

où $a$ et $b$ sont les racines de l’équation du second degré

$z^{2}-2z\cos {\frac {\mu \varpi }{2m}}+1=0.$

Pour déterminer les constantes $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ qu’on pose $n=0$ et $m=1,$ on aura

$\mathrm {A+B} =0\quad {\text{et}}\quad \mathrm {A} a+\mathrm {B} b={\frac {\mathrm {L} }{2^{m-2}}},$

ce qui donne

$\mathrm {B=-A} ,\quad \mathrm {A} ={\frac {\mathrm {L} }{2^{m-2}(a-b)}},\quad \mathrm {B} ={\frac {\mathrm {L} }{2^{m-2}(a-b)}},$

et par conséquent

$\mathrm {D} ^{m-n}={\frac {\mathrm {L} }{2^{m-2}}}{\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}.$

Or, si l’on substitue au lieu de $a$ et $b$ les racines de l’équation proposée, il en résultera, par un procédé semblable à celui du n^o 25,

${\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}={\frac {\sin {\cfrac {n\mu \varpi }{2m}}}{\sin {\cfrac {\mu \varpi }{2m}}}},$