Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/152

qui détermineront les points où chacun des polygones simples pourra couper son propre axe. Il est visible que la première aura lieu toutes les fois que ${\frac {s\mu }{m}}$ sera égal à zéro ou à un nombre entier quelconque ; soit donc $k$ un tel nombre, on aura

${\frac {s\mu }{m}}=k\quad {\text{et}}\quad \mu ={\frac {km}{s}},$

laquelle valeur de $\mu$ satisfera toujours, quel que soit le temps $t.$

Soit $s=1,$ on aura

$\mu \quad {\text{ou}}\quad km=0,\ m,\ 2m,\ldots \,;$

d’où il s’ensuit que le polygone ne pourra rencontrer l’axe $\mathrm {AB}$ que dans ses deux extrémités $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} \,;$ il sera donc tout au-dessus ou au-dessous de lui, comme on voit fig. 7, p. 91.

Soit $s=2,$ on aura

$\mu \quad {\text{ou}}\quad {\frac {km}{2}}=0,\ {\frac {m}{2}},\ 2m,\ldots \,;$

le polygone coupera donc l’axe au milieu $\mathrm {C} ,$ et il aura par conséquent une moitié au-dessus et l’autre au-dessous, comme dans la fig. 8.

Fig. 8

Soit $s=3,$ on aura

$\mu \quad {\text{ou}}\quad {\frac {km}{3}}=0,\ {\frac {m}{3}},\ {\frac {2m}{3}},\ m,\ldots \,;$

et le polygone rencontrera l’axe deux fois et le divisera en trois parties