plus simplement
![{\displaystyle \mathrm {M=A} \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d307003f49666c657b55cf415e4f87220b3907d4)
Il faut maintenant faire en sorte que
évanouisse lorsque
d’où l’on a
![{\displaystyle \mathrm {A} \sin \left(a{\sqrt {-k}}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc878b5a2f6a972ec3eaa4e5e267d02bd47eb20d)
et prenant pour
un nombre quelconque entier positif ou négatif,
![{\displaystyle a{\sqrt {-k}}={\frac {\nu \varpi }{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8525a6158e8be80af7cbac3bf043dbc499274b31)
ce qui nous apprend que
peut avoir une infinité de valeurs différentes, qui remplissent toutes également les conditions données. Substituons à présent pour
sa valeur trouvée, et retenant pour plus de simplicité la quantité
on aura, après avoir divisé par ![{\displaystyle \mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea6ef4ca74d67faaa4cee78ec7201ae9b5caa76c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int z\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=&\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {Z} \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx\\&+{\frac {\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)}{\sqrt {-ck}}}\int \mathrm {U} \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx,\\\int u\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx=&\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {U} \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx\\&-{\sqrt {-ck}}\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {Z} \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adedf4d7c04252578d9e1538cc9453cf5b00c0aa)
Ces deux équations doivent se vérifier pour toutes les valeurs qu’on peut donner à
et c’est d’après une telle condition qu’il faut déterminer les valeurs cherchées de
et de
par celles de
et
qui sont supposées données.
Pour cela il faut commencer par faire disparaître au moyen de quelques transformations la quantité
qui n’est point renfermée dans des sinus ou des cosinus ; ces transformations ne consistent qu’à prendre les intégrales par parties comme nous l’avons déjà pratiqué plus haut, en sorte que l’intégrale qui reste se trouve naturellement multipliée ou divisée par
Par ce moyen, on transformera d’abord