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et ordonnant les termes par rapport à la variable $u,$ on aura

$\left.{\begin{aligned}u\left({\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dx^{2}}}-{\frac {m}{x}}{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}\right)&+{\frac {du}{dx}}\ \ \left({\frac {d^{2}\mathrm {B} }{dx^{2}}}-{\frac {m}{x}}{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}+2{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}-{\frac {m\mathrm {A} }{x}}\right)\\&+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {C} }{dx^{2}}}-{\frac {m}{x}}{\frac {d\mathrm {C} }{dx}}+2{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}-{\frac {m\mathrm {B} }{x}}\right)\\&+{\frac {d^{3}u}{dx^{3}}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {D} }{dx^{2}}}-{\frac {m}{x}}{\frac {d\mathrm {D} }{dx}}+2{\frac {d\mathrm {C} }{dx}}-{\frac {m\mathrm {C} }{x}}\right)\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}=0,$

d’où l’on tirera les équations particulières

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dx^{2}}}-{\frac {m}{x}}{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}=0,\\&{\frac {d^{2}\mathrm {B} }{dx^{2}}}-{\frac {m}{x}}{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}+2{\frac {d\mathrm {A} }{dx}}-{\frac {m\mathrm {A} }{x}}=0,\\&{\frac {d^{2}\mathrm {C} }{dx^{2}}}-{\frac {m}{x}}{\frac {d\mathrm {C} }{dx}}+2{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}-{\frac {m\mathrm {B} }{x}}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

qui sont très-aisées à résoudre ; dans l’intégration de toutes ces équations, à l’exception de la première, on peut négliger les constantes qui ne serviraient qu’à rendre les valeurs des quantités $\mathrm {B,C,D} ,\ldots$ plus compliquées sans les rendre plus générales. Ainsi $f$ et $h$ étant les deux constantes de la première quantité $\mathrm {A} ,$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&f+hxm^{m+1},\\\mathrm {B} =&-fx-hxm^{m+2},\\\mathrm {C} =&f{\frac {(m-2)}{2(m-1)}}x^{2}+h{\frac {(m+4)}{2(m+3)}}x^{m+3},\\\mathrm {D} =&-f{\frac {(m-2)(m-4)}{2.3(m-1)(m-2)}}x^{3}-h{\frac {(m+4)(m+6)}{2.3(m+3)(m+4)}}x^{m+4},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où la loi de la progression est assez manifeste.

28. Dans ces formules on voit clairement que si $m$ est un nombre pair positif à commencer par $2,$ la série des termes multipliés par $f$ devient