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\Gamma\left(a+t\sqrt{c}\right) et \Delta\left(a-t\sqrt{c}\right) que dans le n^o 32. Maintenant, puisque la chaîne est libre dans tous ses autres points, il est visible que ce serait mal à propos qu’on supposerait $y=0$ lorsque $x=0,$ mais il faudra remplacer cette condition par celle-ci

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0\,;$

car il est naturel de penser que la courbure de la chaîne doive s’évanouir à son extrémité inférieure, par la raison qu’il n’y a ici aucun appui à l’action des parties supérieures. Or

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {h^{2}}{4s^{5}}}\left(s^{2}{\frac {d^{2}z}{ds^{2}}}-3s{\frac {dz}{ds}}+3z\right)\,;$

donc, lorsque $s$ est zéro ou simplement infiniment petit, ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ se réduit à ${\frac {3h^{2}z}{4s^{5}}}$ et par conséquent on aura de même ici $z=0,$ lorsque $s=0,$ et $\Gamma (t{\sqrt {c}})+\Delta (-t{\sqrt {c}})=0,$ comme dans le numéro cité. Au reste, ce Problème étant absolument analogue aux précédents est susceptible de remarques semblables. Je me contenterai simplement de faire observer que si l’on voulait le résoudre directement par notre méthode générale, on parviendrait, après les opérations ordinaires, à cette équation en $\mathrm {M} ,$

$k\mathrm {M} ={\frac {d^{2}{\cfrac {\mathrm {M} \int \mathrm {X} dx}{\mathrm {X} }}}{dx^{2}}}-{\frac {d\mathrm {M} }{dx}},$

qui est constructible par les méthodes connues dans le cas où

$X=hx^{\frac {2\mu +1}{2}}\,;$

il faudrait ensuite déterminer la quantité $k$ avec les autres constantes de $\mathrm {M} ,$ par la condition

${\frac {\mathrm {M} \int \mathrm {X} dx}{\mathrm {X} }}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {d{\cfrac {\mathrm {M} \int \mathrm {X} dx}{\mathrm {X} }}}{dx}}y+\mathrm {M} y=0.$

ou bien

${\frac {\mathrm {M} \int \mathrm {X} dx}{\mathrm {X} }}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}{\frac {\int \mathrm {X} dx}{\mathrm {X} }}y+\mathrm {M} \left(\int \mathrm {X} dx\right){\frac {d\mathrm {X} }{\mathrm {X} ^{2}dx}}y=0,$