et commençons par faire disparaître la quantité
du coefficient
Pour cela, soit changée l’intégrale
![{\displaystyle \int \mathrm {M} ydx=\int \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)ydx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ebc9b0414449e1a8ffffc3e496062d0922135c0)
en son équivalente
![{\displaystyle \sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)\int ydx-{\sqrt {-k}}\int \cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx\int ydx\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05d12bbdb00a995cf754e9fb542aa233eb3c1e56)
ce qui donnera par la substitution, et, en effaçant le terme
à cause de
au premier et au dernier point de l’intégrale
la transformée
![{\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {-1}}{\sqrt {c}}}}e^{t{\sqrt {ck}}}\int e^{-t{\sqrt {ck}}}dt\int \cos \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx\int ydx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73df5876f7d5745d88076a51e997cc9ddc190210)
Posons, pour abréger,
et mettons au lieu de
sa valeur exponentielle
transportant le signe d’intégration qui regarde
au devant de celui qui regarde
(ce qui est permis à cause que la quantité
qui est entre les deux signes, est une quantité constante à l’égard de
), on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{4{\sqrt {-1}}{\sqrt {c}}}}e^{t{\sqrt {ck}}}\int dx\int e^{\left(x-t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {k}}}\mathrm {Y} dt+{\frac {1}{4{\sqrt {-1}}{\sqrt {c}}}}e^{t{\sqrt {ck}}}\int dx\int e^{-\left(x+t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {k}}}\mathrm {Y} dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9f43bd687d6511805662371e0f98e88e1bf284c)
Soit fait
et soit nommée
la fonction de
et de
qui vient de la substitution de
au lieu de
dans la quantité
et
la fonction de
et de
qui vient de la substitution de
au lieu de
dans la même quantité
en prenant, au lieu des variables
et
les nouvelles variables
et
et
et
on changera les deux expressions intégrales
![{\displaystyle \int dx\int e^{\left(x-t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {k}}}\mathrm {Y} dt\quad {\text{et}}\quad \int dx\int e^{-\left(x+t{\sqrt {c}}\right){\sqrt {k}}}\mathrm {Y} dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f980f2da6b6ddf2d143c6750bb420d844b916caa)