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et par conséquent

$\mathrm {N} =ck\left(m^{2}e^{mkx}-n^{2}e^{nkx}\right).$

Soit maintenant

$\int (\mathrm {N} z+\mathrm {M} u)dx=s,$

notre équation deviendra

${\frac {ds}{dt}}=ks+\int \mathrm {M} ydx\,;$

d’où l’on tire, en intégrant et conservant les noms que nous avons employés dans tout le cours des Recherches précédentes,

$\int (\mathrm {N} z+\mathrm {M} u)dx=e^{kt}\int (\mathrm {NZ+MU} )dx+e^{kt}\int e^{-kt}dt\int \mathrm {M} ydx.$

Or, la quantité $\mathrm {N}$ étant multipliée par un coefficient $k,$ pour le faire disparaître on changera les intégrales

$\int \mathrm {N} zdx\quad {\text{et}}\quad \int \mathrm {NZ} dx$

en

$-\int {\frac {dz}{dx}}dx\int \mathrm {N} dx\quad {\text{et}}\quad -\int {\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}dx\int \mathrm {N} dx,$

en négligeant les autres termes qui deviennent nuls à cause que $z$ et $\mathrm {Z}$ disparaissent quand $x=0$ et $x=a\,:$ substituant donc les valeurs de $\mathrm {M}$ et de $\int \mathrm {N} dx,$ on aura

${\begin{aligned}\int &\left(u-cm{\frac {dz}{dx}}\right)e^{mkx}dx-\int \left(u-cn{\frac {dz}{dx}}\right)e^{nkx}dx\\&=\int \left(\mathrm {U} -cm{\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\right)e^{(mx+t)k}dx-\int \left(\mathrm {U} -cn{\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}\right)e^{(nx+t)k}dx\\&\quad +e^{kt}\int e^{-kt}dt\int e^{mkx}ydx-e^{kt}\int e^{-kt}dt\int e^{nkx}ydx.\end{aligned}}$

Soient $\mathrm {P}$ la fonction de $p$ et de $t$ qui vient de la substitution de $p$ au lieu de $mx-t$ dans $y,$ et $\mathrm {Q}$ la fonction de $q$ et de $t$ qui vient de la substitution de $q$ à la place de $nx-t$ dans la même quantité $y\,;$ les deux