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j’aurai donc, en substituant,

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=c{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}-c{\frac {dz}{dx}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+c\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{2}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}-\ldots .$

Or, si on suppose ${\frac {dz}{dx}}dx$ infiniment petit par rapport à $dx,$ il est clair que le second membre de cette équation se réduit au seul terme $c{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},$ et qu’ainsi l’équation

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=c{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}$

donnera une valeur de $z$ qui pourra être regardée comme exacte ; c’est le cas que nous avons déjà traité. Mais, si on suppose seulement $z$ fort petit et cependant fini, l’équation

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=c{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}$

ne donnera plus qu’une valeur approchée de $z\,;$ on substituera donc cette valeur dans les termes

$-c{\frac {dz}{dx}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+c\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{2}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}-\ldots$

qu’on avait négligés, et intégrant l’équation par la méthode du Problème IV, on aura une valeur de $z$ plus exacte ; on substituera de nouveau la valeur de $z$ ainsi corrigée, et l’on en tirera une autre encore plus exacte que la précédente ; en opérant ainsi de suite, on approchera toujours de plus en plus de la valeur de $z$.

Or si, pour faciliter le calcul, on introduit les fonctions indéterminées dans notre solution du Problème I, on a pour la première valeur de $z$

$z=\varphi \left(x+t{\sqrt {c}}\right)+\psi \left(x-t{\sqrt {c}}\right)\,;$

maintenant il faut supposer

$y=-c{\frac {dz}{dx}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+c\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{2}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}-\ldots ,$