doivent être les valeurs de 
pour que ces dernières conditions aient lieu.
60. Pour cela, soient substituées au lieu de 
leurs valeurs tirées des équations de condition (A), (B), (C) du no 45, et faisant évanouir par des intégrations par parties les différences de 
on aura d’abord, en négligeant les intégrales à deux seules changeantes qui sont nulles par la nature même des quantités 
et des fonctions la transformée suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int (x\mathrm {L} +y&\mathrm {M} +z\mathrm {N} )d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \\={\frac {1}{k}}\int &\left[\left({\frac {d^{2}x}{d\mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{d\mathrm {X} d\mathrm {Y} }}+{\frac {d^{2}z}{d\mathrm {X} d\mathrm {Z} }}\right)\mathrm {L} \right.\\&\quad +\left({\frac {d^{2}y}{d\mathrm {Y} ^{2}}}+{\frac {d^{2}x}{d\mathrm {Y} d\mathrm {X} }}+{\frac {d^{2}z}{d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} }}\right)\mathrm {M} \\&\quad +\left.\left({\frac {d^{2}z}{d\mathrm {Z} ^{2}}}+{\frac {d^{2}x}{d\mathrm {Z} d\mathrm {X} }}+{\frac {d^{2}y}{d\mathrm {Z} d\mathrm {Y} }}\right)\mathrm {N} \right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f75c191453ac2b1044cdc625eb4b2bd6f186f1b)
où l’on voit que les quantités multipliées par sont les mêmes que celles qui composent les seconds membres des équations différentielles proposées, ce qui ne pourra jamais être autrement, quelque forme que puissent avoir ces équations, puisqu’il est clair que les nouvelles intégrations par parties dont on fait usage ici ne servent qu’à défaire ce qu’on avait fait par les premières.
On aura donc, en posant 
pour une constante quelconque,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int &\left[\left(\alpha x+{\frac {d^{2}x}{d\mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {d^{2}y}{d\mathrm {X} d\mathrm {Y} }}+{\frac {d^{2}z}{d\mathrm {X} d\mathrm {Z} }}\right)\mathrm {L} \right.\\&\quad +\left(\alpha y+{\frac {d^{2}y}{d\mathrm {Y} ^{2}}}+{\frac {d^{2}x}{d\mathrm {Y} d\mathrm {X} }}+{\frac {d^{2}z}{d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} }}\right)\mathrm {M} \\&\quad +\left.\left(\alpha z+{\frac {d^{2}z}{d\mathrm {Z} ^{2}}}+{\frac {d^{2}x}{d\mathrm {Z} d\mathrm {X} }}+{\frac {d^{2}y}{d\mathrm {Z} d\mathrm {Y} }}\right)\mathrm {N} \right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} \\&=(\alpha +k)\int (x\mathrm {L} +y\mathrm {M} +z\mathrm {N} )d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef45fecd8138bf0036cbc3a0de45d7d6b5dd48b6)
et par conséquent, tant que ne sera pas égal à 
on satisfera à
